Pencocokan maksimum M dengan kondisi G [M] bebas 2K_2

Apakah ada sesuatu dalam literatur yang dekat dengan masalah berikut:

Diberikan grafik bipartit dengan bipartisi seimbang , apakah ada cocok dengan sempurna di sehingga untuk setiap 2 tepi , ada tepi atau tepi (atau keduanya) di ? $G(V,E)$ $\{U,W\}$ $M$ $G$ $u_1w_1, u_2w_2\in M$ $u_1w_2$ $u_2w_1$ $G$

Dengan kata lain, apakah ada pencocokan sempurna sehingga subgraf yang diinduksi adalah -gratis. (Dengan bipartisi seimbang, maksud saya .) $M$ $G[M]$ $2K_2$ $|U|=|W|$

Kondisi tambahan adalah sesuatu seperti ekstrim berlawanan dari yang digunakan dalam masalah pencocokan yang diinduksi. Kemungkinan lain yang terkait adalah masalah menemukan pencocokan ukuran maksimum dalam grafik bipartit sedemikian sehingga kontraksi tepi dalam meminimalkan jumlah tepi yang tersisa dalam grafik. $M$ $G$ $M$

Saya memeriksa daftar masalah terkait pencocokan yang diberikan oleh Plummer di Matching dan vertex packing: seberapa "sulit" itu? tanpa keberhasilan.

PS: Masalah ini adalah kasus khusus dari masalah keputusan ini: - Untuk diberikan , apakah ada maksimum yang cocok dari grafik bipartit sehingga adalah bebas dan . Jika grafik input seimbang bipartit dan , kami mendapatkan masalah di atas. $k\in\mathbb{N}$ $M$ $G$ $G[M]$ $2K_2$ $|M|>k$ $k=|U|$

Terima kasih.

matching

— Cyriac Antony
sumber

| U |

$|U|$

M

$M$

G

$G$

M

$M$

G

$G$

M

$M$

G [M]

$G[M]$

G

$G$

M

$M$

Jawaban:

Mengherankan! (untuk saya).
Jenis pencocokan ini sudah dipelajari dalam literatur. Mereka disebut pencocokan terhubung .

Mereka diperkenalkan oleh Plummer, Stiebitz dan Toft dalam studi mereka tentang dugaan Hadwiger. Lihat bab "Pencocokan Terhubung" oleh Cameron dalam buku "Optimalisasi Gabungan - Eureka, You Shrink!"

Status pencocokan terhubung dalam grafik bipartit (tidak perlu seimbang) terbuka untuk yang terbaik dari pengetahuan saya ( saya akan memperbarui ). Versi tertimbang dari masalahnya adalah NP-lengkap untuk grafik bipartit. Masalahnya adalah waktu polinomial yang dapat dipecahkan untuk grafik bipartit chordal.

$n^{1-\epsilon}$

Catatan ditambahkan sebelumnya (disimpan untuk orang-orang yang tertarik):
" Pencocokan yang terhubung dalam grafik bipartit chordal " oleh Jobson et al. (doi: https://doi.org/10.1016/j.disopt.2014.06.003 ) dan " Pencocokan yang terhubung dalam kelompok grafik khusus " oleh Caragianis (tesis) adalah dua referensi penting.

— Cyriac Antony
sumber

$M$ $G$ $M$ $G$
$e$ $e’$ $e$ $e’$

$L(G)$ $G$

Masalah set stong dikenal sebagai NP-complete di beberapa kelas grafik. Saya tidak tahu statusnya pada grafik garis grafik bipartit. Makalah itu mengatakan itu NP-lengkap pada grafik bipartit. Minat kami di sini akan berada di kelas grafik garis grafik bipartit.

— Cyriac Antony
sumber

diedit untuk memperbaiki kesalahan; Saya pikir grafik garis dari grafik bipartit adalah bipartit. :)

— Cyriac Antony

Saya pikir harus ada +1 dalam definisi Anda jarak antara tepi (dengan definisi saat ini tepi M akan berada pada jarak 1 karena ada tepi --- jalur panjang 1 --- menghubungkan setiap pasang tepi M, tetapi Anda sebenarnya berarti jarak 2).

— Florent Foucaud

dikoreksi sebagai "tepi ... berada pada jarak 1 dari satu sama lain". Terima kasih @Forent Foucaud

— Cyriac Antony

Itu bekerja, tetapi sekarang sayangnya "jarak tepi" Anda tidak sesuai dengan jarak-simpul dari simpul yang sesuai dalam grafik garis.

— Florent Foucaud

Untuk membuat pemodelan lebih dekat dengan masalah Anda, ingatlah bahwa pencocokan maksimum dalam grafik sesuai dengan set independen maksimum dalam grafik garisnya. Dengan demikian, dalam grafik garis Anda mencari set kuat yang juga set independen maksimum (khususnya, itu juga harus menjadi set yang mendominasi).

— Florent Foucaud