Sum-of-square-root-hard problems?

The jumlah kuadrat akar masalah bertanya, diberikan dua urutan dan bilangan bulat positif, apakah jumlah $a_1, a_2, \dots, a_n$ $b_1, b_2, \dots, b_n$ kurang dari, sama dengan, atau lebih besar dari jumlah $\sum_i \sqrt{a_i}$ . Status kompleksitas masalah ini terbuka; lihatposting iniuntuk detail lebih lanjut. Masalah ini muncul secara alami dalam geometri komputasi, terutama dalam masalah yang melibatkan jalur terpendek Euclidean, dan merupakan batu sandungan yang signifikan dalam mentransfer algoritma untuk masalah-masalah tersebut dari RAM nyata ke RAM integer standar. $\sum_i \sqrt{b_i}$

Sebut masalah Π jumlah akar kuadrat-keras (disingkat Σ√-keras?) Jika ada pengurangan waktu polinomial dari jumlah masalah akar kuadrat ke Π. Tidak sulit untuk membuktikan bahwa masalah berikut adalah jumlah dari akar kuadrat:

Jalur terpendek dalam grafik geometris Euclidean 4d

Misalnya: Sebuah grafik yang simpul adalah titik-titik di , dengan tepi tertimbang oleh distane Euclidean; dua simpul dan $G=(V,E)$ $\mathbb{Z}^4$ $s$ $t$

Output: Jalur terpendek dari ke di . $s$ $t$ $G$

Tentu saja masalah ini dapat dipecahkan dalam waktu polinomial pada RAM nyata menggunakan algoritma Dijkstra, tetapi setiap perbandingan dalam algoritma tersebut membutuhkan pemecahan masalah jumlah akar. Pengurangan menggunakan fakta bahwa bilangan bulat apa pun dapat ditulis sebagai jumlah dari empat kuadrat sempurna; output dari reduksi sebenarnya adalah siklus pada simpul . $2n+2$

Masalah apa lagi yang paling sulit? Saya terutama tertarik pada masalah yang ada solusi waktu polinomial pada RAM nyata. Lihat pertanyaan saya sebelumnya untuk satu kemungkinan.

Seperti yang disarankan Robin, jawaban yang membosankan itu membosankan. Untuk setiap kompleksitas kelas X yang berisi jumlah akar kuadrat (misalnya, PSPACE atau EXPTIME), setiap masalah X-hard adalah jumlah akar kuadrat yang sulit.

— Jeffε
sumber

Terima kasih kepada Suresh dan Peter karena menyarankan pertanyaan ini.

— Jeff

Mungkin Anda juga bisa mengesampingkan jawaban sepele dengan bersikeras bahwa jawaban tersebut seharusnya bukan hanya masalah yang sulit bagi kelas yang diketahui mengandung masalah Sum-of-square-root. Sebagai contoh, setiap masalah PSPACE-hard akan Sum-of-square-root-hard, tapi itu mungkin tidak menarik.

— Robin Kothari

Apakah maksud Anda

dalam pernyataan masalah jalur terpendek, atau

? Yang pertama sepertinya tidak bisa menggunakan RAM integer sama sekali, dan mungkin masalahnya masih sulit untuk membatasi ke poin integer ...

R^{4}

$\mathbb{R}^4$

Z^{4}

$\mathbb{Z}^4$

— Steven Stadnicki

@ Seven: Yup, kau benar. Diedit.

— Jeffε

Jawaban:

Ini dibahas sedikit dalam survei berikut (mulai slide 21): http://homepages.inf.ed.ac.uk/kousha/games08_tutorial.pdf

yang menyebutkan Euclidean TSP, perkiraan keseimbangan Nash yang sebenarnya, dan berbicara tentang kelas-kelas PosSLP dan FIXP.

— Noam
sumber

ini adalah koneksi yang menarik.

— Suresh Venkat

Ini harus menjadi komentar, karena ini adalah jawaban yang paling membosankan, tetapi saya tidak memiliki reputasi yang cukup.

Jumlah akar kuadrat adalah dalam dari [ABKM98] , jadi setiap masalah yang sulit untuk kelas ini memiliki properti yang diperlukan. Ini dilakukan dengan mengurangi masalah jumlah akar kuadrat menjadi masalah yang disebut $P^{PP^{PP^{PP}}}$ $PosSLP$ , didefinisikan sebagai memutuskan apakah masalah garis lurus mewakili bilangan bulat positif, sehingga masalahnya adalah jumlah akar kuadrat keras.

[ABKM98]: Tentang Kompleksitas analisis Numerik, oleh Allender, Burgisser, Kjeldgaard-Pedersen dan Miltersen.

— Abel Molina
sumber

Ada juga peningkatan ini [ mpi-inf.mpg.de/~csaha/Sum_sqrroot.pdf] yang menempatkan masalah dalam

dan juga membuktikan bahwa versi terbatas dari masalah memerlukan jumlah bit polinomial.

{C o R P}^{P P}

${CoRP}^{PP}$

— Elias

@ Elas: Bisakah Anda menjelaskan? Dari pandangan sepintas, Kayal dan Saha tampaknya sedang mendiskusikan "versi polinom" dari jumlah masalah akar kuadrat, yang terkait dengan tetapi berbeda dari jumlah masalah akar kuadrat yang biasa.

— Tsuyoshi Ito

@ Bel: (1) Hai Abel, senang melihat posting Anda! (2) Untuk apa nilainya, [ABKM98] sebenarnya disajikan di CCC 2006 dan diterbitkan pada 2009 . (3) Jawaban yang membosankan tidak harus berupa komentar tetapi harus dijaga sendiri. Tetapi saya tidak berpikir bahwa ini adalah jawaban yang membosankan. :)

— Tsuyoshi Ito

a_{i}

$a_i$

a_{i} = \sum_{i} b_{i} j X^{d_{i} - j}

$a_i=\sum_i{b_ij}X^{d_i-j}$

X > (B + 1)^{(n d)^{O (1)}}

$X>(B+1)^{(nd)^{O(1)}}$

B = m a x {b_{i j}}

$B=max\{b_{ij}\}$

d = m a x {d_{i}}

$d=max\{d_i\}$ , maka kita membutuhkan jumlah bit polinom untuk memutuskan masalahnya.

— Elias

@ Tsuyoshi: Saya benar-benar salah mengerti pertanyaan Anda. Saya minta maaf untuk ini. Apa yang Kayal dan Saha buktikan adalah bahwa DegSLP ada dalam

C o R P^{P P}

$CoRP^{PP}$ . Saya harus lebih berhati-hati. Terima kasih untuk ini.

— Elias