Apa halangan untuk memperpanjang

Bukti Omer Reingold yang memberikan algoritma untuk USTCON (Dalam U ndirected grafik dengan simpul khusus dan , mereka Con $L=SL$ $s$ $t$ nected?) Hanya menggunakan logspace. Ide dasarnya adalah untuk membangun grafik expander dari grafik asli, dan kemudian berjalan di grafik expander. Grafik expander dibuat dengan mengkuadratkan grafik asli secara logaritma berkali-kali. Dalam grafik expander, diameternya hanya logaritmik, jadi pencarian DFS untuk kedalaman logaritmik cukup.

Memperluas hasil ke akan menyiratkan adanya algoritma logspace untuk DSTCON - sama, tetapi untuk grafik yang terinveksi D. (Terkadang hanya STCON.) Pertanyaan saya, mungkin sedikit lunak, adalah apa penghalang utama untuk memperluas bukti Reingold untuk itu? $L=NL$

Rasanya sedikit seperti harus ada semacam grafik "diarahkan expander". Jenis konstruksi yang serupa, di mana Anda menambahkan tepi yang sesuai dengan jalur diarahkan menengah, dan kemudian beberapa yang sesuai dengan yang panjang; dan kemudian Anda dapat melintasi grafik dengan kedalaman logaritmik dengan bergerak melintasi jalur pendek untuk sampai ke jalur yang panjang; lalu kembali ke jalur pendek di akhir.

Apakah ada kelemahan utama dalam konsep ini? Atau apakah tidak ada konstruksi ekspander yang bagus? Atau apakah itu entah bagaimana memerlukan lebih banyak memori daripada versi yang tidak diarahkan?

Sayangnya saya tidak dapat menemukan banyak sekali pada grafik expander yang diarahkan. Sebenarnya pada dasarnya yang bisa saya temukan adalah /math/2628930/how-can-one-construct-a-directed-expander-graph-with-varying-degree-distribution (yang tidak dijawab) dan https://repository.upenn.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1202&context=cis_papers . Apakah ada istilah lain yang harus saya cari di bawah?

— Alex Meiburg
sumber

Makalah ini memberikan beberapa wawasan tentang memperluas

untuk

: people.seas.harvard.edu/~salil/research/regular-abs.html

L = S L

$L=SL$

L = R L

$L=RL$

— sdcvvc

Lihat poin 3. di sini . Anda mungkin keberatan bahwa itu adalah spekulasi lengkap, tetapi perhatikan bahwa jawaban Scott pada dasarnya membuat poin yang sama tentang eksplorasi acak grafik berarah.

— Thomas Klimpel

Masalah utama adalah bahwa, pada grafik yang diarahkan, bahkan jalan yang benar - benar acak tidak mengenai semua simpul dalam waktu polinomial yang diharapkan, apalagi jalan pseudorandom. Contoh tandingan standar di sini adalah grafik berarah dengan simpul disusun dari kiri ke kanan, di mana setiap simpul memiliki tepi yang mengarah ke simpul di sebelah kanannya (kecuali untuk simpul paling kanan, ), dan setiap simpul juga memiliki tepi yang memimpin semua simpul. jalan kembali ke simpul paling kiri, . Untuk mendapatkan dari ke dengan berjalan acak maka dibutuhkan ~ waktu. Jadi, apa algoritma acak ruang kecil untuk konektivitas terarah yang kami harapkan untuk diacak, analog dengan apa yang dilakukan Reingold untuk $n$ $t$ $s$ $s$ $t$ $2^n$ ? (Dengan kata lain, bagaimana kita menunjukkan , apalagi ?) Untuk konektivitas terarah, tentu saja ada algoritma Savitch, tetapi itu membutuhkan ruang , dan untuk grafik umum tidak ada yang berhasil memperbaikinya selama setengah abad, dengan atau tanpa menggunakan keacakan. $USTCON$ $RL=NL$ $L=NL$ $O(\log^2 n)$

— Scott Aaronson
sumber

Jenis algoritma yang akan saya jelaskan adalah, kira-kira - yah, Anda menjalankan operasi "square dan zig-zag" Reingold beberapa kali untuk memulai. Saya menduga bahwa modifikasinya adalah bahwa alih-alih kuadrat yang hanya berisi lintasan panjang 2 dalam grafik asli, itu mencakup lintasan panjang 1 dan 2. Coba semua urutan yang dalam secara logaritmik, seperti miliknya. Jika kami beri nomor simpul pada grafik Anda sebagai 1, 2, .. n, maka grafik 'kuadrat' pertama menghubungkan 1 ke 2 dan 3, 'kotak' berikutnya menghubungkannya ke 2345, dll. Langkah-langkah zig-zag menjaga derajat rendah. Jelas kasar, tetapi saya tidak mengerti mengapa itu gagal.

— Alex Meiburg

Untuk konektivitas terarah, ada algoritma polinomial-waktu menggunakan "hanya"

ruang oleh Barnes, Buss, Ruzzo dan Schieber:A ruang Sublinear, Algoritma Waktu Polinomial untuk Konektivitas st. Ini adalah perpaduan yang cerdas dari pencarian luas pertama dan algoritme seperti Savitch rekursif untuk menemukan jalur antara level BFS berikutnya. Yang dibutuhkan sekarang adalah pergi dari

\frac{n}{2^{Θ (\sqrt{\log n})}}

$\frac{n}{2^{\Theta(\sqrt{\log n})}}$

untuk

. Jadi itu belum membaik, tidak dalam setengah abad, tetapi hanya dalam 20 tahun terakhir :)

\frac{n}{2^{Θ (\sqrt{\log n})}}

$\frac{n}{2^{\Theta(\sqrt{\log n})}}$

\log n

$\log n$

— Lieuwe Vinkhuijzen