Jumlah minimum transposisi untuk mengurutkan daftar

Dalam mencoba menyusun algoritma penyortiran saya sendiri, saya mencari patokan optimal yang dapat saya bandingkan. Untuk pengurutan elemen A yang tidak disortir dan pengurutan B yang terurut , apa cara yang efisien untuk menghitung jumlah transposisi optimal untuk mendapatkan dari A ke B ?

Transposisi didefinisikan sebagai perpindahan posisi 2 elemen dalam daftar, jadi misalnya

1 2 4 3

memiliki satu transposisi (transposisi 4 dan 3) untuk membuatnya

1 2 3 4

Sesuatu seperti

1 7 2 5 9 6

membutuhkan 4 transposisi (7, 2), (7, 6), (6,5), (9, 7)

Pembaruan (9/7/11): pertanyaan diubah untuk menggunakan "transposisi" alih-alih "swap" untuk merujuk ke pertukaran yang tidak berdekatan.

Jika Anda hanya berurusan dengan permutasi dari unsur, maka Anda akan perlu persis n - c ( π ) swap, dimana c ( π ) adalah jumlah siklus dalam dekomposisi siklus menguraikan dari π . Karena jarak ini bi-invariant, mentransformasikan π menjadi σ (atau A menjadi B , atau sebaliknya) membutuhkan n - c ( σ - 1 ∘ π ) yang bergerak.$n$$n-c(\pi)$$c(\pi)$$\pi$$\pi$$\sigma$$A$$B$$n-c(\sigma^{-1}\circ\pi)$

Jarak swap juga dapat tertanam secara isometrik dalam ruang Euclidean. Untuk setiap string, buat sebuah matriks mana M i j = 1 jika saya muncul sebelum j dan nol jika tidak. Maka jarak Frobenius ‖ M ( s ) - M ( s ′ ) ‖ 2 adalah jarak swap d ( s , s ′ ) . (dari slide Graham Cormode ). Tidak seanggun jawaban Anthony, tetapi cukup mudah untuk dihitung.$M(s)$$M_{ij} = 1$$i$$j$$\|M(s) - M(s')\|^2$$d(s,s')$

Perbarui: silakan lihat komentar Oleksandr