Masalahnya adalah waktu polinomial yang dapat dipecahkan.
Setelah berdiskusi dengan Vivek Madan , kita dapat menunjukkan bahwa bukti Teorema 5.1 dalam Pencocokan Sempurna dalam Grafik Planar Bipartit juga ada dalam UL yang bekerja dalam konteks tertimbang (hasilnya adalah memutuskan apakah ada solusi yang layak).
RM.| M.∩ R |CM.| C∩ R |M.M.△ C
M.△ C
Masalahnya berkurang untuk menemukan siklus bolak-balik yang berisi jumlah tepi merah ganjil.
Untuk grafik bipartit, masalahnya mudah, karena dapat direduksi menjadi menemukan siklus ganjil berat minimum dalam grafik berarah tanpa siklus negatif. Yang tampaknya dapat dipecahkan dalam waktu polinomial oleh berbagai akun (tapi saya tidak dapat menemukan kutipan yang konkret). Algoritma seperti Floyd-Warshall sudah cukup.
Untuk grafik umum, pendekatan yang serupa bekerja, tetapi pengurangannya sedikit lebih terlibat. Kami sebenarnya tidak tahu bagaimana melakukannya untuk grafik umum.
Perhatikan kasus grafik bipartit sebenarnya mengikuti dari teorema yang lebih umum. Di sini kami secara langsung mengutip masalah berikut dari Artmann, Weismantel, Zenklusen 17
Paritas TU-optimasi
Tr a n k ( T) = nb∈>Zm,c∈Zn,α∈{0,1}S⊂[n]max{cTx:Tx≤b,x∈Zn≥0,x(S)≡α(mod2)}
Optimasi TU paritas dapat diselesaikan dalam waktu polinomial, dan kasus bipartit dari masalah kita berkurang. (Perhatikan mudah dipenuhi dengan membutuhkan untuk semua ).rank(T)=nxi≥0i
Kami tidak tahu tentang kasus di mana ada jumlah warna yang konstan.