Substitusi herediter dengan hierarki semesta

Saya telah membaca tentang substitusi turun-temurun untuk Kalkulus Lambda Sederhana dan untuk Kerangka Kerja Logis dengan istilah dan tipe yang berbeda.

Saya bertanya-tanya, apakah ada contoh penggantian herediter dalam sistem yang diketik dependen dengan hierarki semesta? yaitu di mana dll.$True : Set_0 : Set_1:Set_2$

Saya bertanya-tanya khususnya bagaimana menetapkan ukuran induksi dalam sistem seperti itu. Versi yang diketik sederhana secara struktural menurun dalam jenis variabel yang diganti. Ini tidak bekerja dengan tipe dependen, untuk untuk LF makalah yang saya tautkan menggunakan penghapusan sederhana dari istilah, melakukan induksi pada bentuk tipe.

Namun, menghapus ke tipe sederhana tidak bekerja dengan hierarki semesta, karena jika Anda memiliki sesuatu seperti ini:

• $f : (x : Set_1)\to x \to True$ menyiratkan itu
• $f\ ((y : True) \to True \to True ): True \to True \to True$

yaitu menerapkan fungsi menghasilkan tipe yang lebih besar secara struktural.

Saya berasumsi bahwa solusinya ada kaitannya dengan indeks alam semesta, tetapi jika ada teknik yang sudah ada untuk menetapkan bahwa induksi itu cukup beralasan, saya lebih suka mengutipnya daripada membuat sesuatu sendiri.

Inilah referensi untuk Sistem predikatif F. Ukurannya memang termasuk multiset level alam semesta dalam suatu tipe. Saya tidak bisa mengatakan banyak tentang apakah pendekatan ini digeneralisasikan ke teori tipe ketergantungan predikatif.

Pada November 2018, bagaimana melakukan ini untuk teori tipe dependen dengan eliminasi besar adalah pertanyaan terbuka.

Memastikan bahwa rekursi itu beralasan tidak terlalu buruk; Anda dapat menggunakan teorema Pataraia untuk membuktikan titik tetap yang Anda inginkan ada. Lihat Robert Harper's * Membangun Tipe Sistem Atas Semantik Operasional untuk mengetahui caranya. (Anda juga dapat melakukan ini melalui definisi rekursif induktif.)

Bagian yang sulit sebenarnya merumuskan substitusi turun-temurun dengan cara yang baik - arah alami membawa Anda ke arah penggantian bukan hanya satu istilah, tetapi keseluruhan substitusi untuk suatu konteks, dan ini menimbulkan banyak pertanyaan tentang kapan dan bagaimana membangun properti benda. seperti komposisi substitusi (herediter).

Jika ternyata tidak mungkin, saya akan sangat terkejut. Namun, saat ini belum ada yang melakukannya. Jika Anda ingin mengerjakan ini, saya sarankan menghubungi Andreas Abel, Dan Licata dan Mike Shulman. (Atau aku, dalam hal ini.)