Sirkuit polinom yang dapat dibalik jika rangkaian polinom yang dapat dibalik?

Pertanyaan saya adalah tentang fungsi bijective yang dapat dihitung secara efisien. Secara informal saya tertarik pada:

Jika suatu bijection dihitung dalam waktu polinomial, dapatkah kita menghitungnya dengan jumlah polinomial gerbang bijective?

Saya telah memeriksa daftar pertanyaan yang relevan dan tidak menemukan yang ini. Pengaturan tepat saya mungkin atau mungkin tidak ortodoks jadi saya memasukkan definisi saya. Saya percaya pertanyaannya adalah level penelitian, tapi saya senang terbukti salah.

Misalkan $B = \{0,1\}$ . Mari kita mendefinisikan gerbang sebagai elemen dari untuk beberapa terbatas . Untuk hingga definisikan , dan tentukan . Untuk dua gerbang tulis untuk permutasi didefinisikan oleh untuk , dimana$\mathrm{Alt}(B^n)$$n$$N$$G_N = \bigcup_{n \leq N} \mathrm{Alt}(B^n)$$G_\infty = \bigcup_n \mathrm{Alt}(B^n)$$\pi_1 \in \mathrm{Alt}(B^m), \pi_2 \in \mathrm{Alt}(B^n)$$\pi = \pi_1 | \pi_2$$B^{m+n}$$\pi(u \cdot v) = \pi_1(u) \cdot \pi_2(v)$$u \in B^m, v \in B^n$$\cdot$G ⌈ G ⌈ G ⌉ ⋃ n A l t ( B n ) ( π 1 , π 2 ) ↦ π 1 ∘ π 2 |adalah gabungan kata-kata. Untuk satu set gerbang tulis untuk subset terkecil dari berisi peta identitas dan ditutup di bawah komposisi fungsi yang terdefinisi dengan baik , dan di bawah operasi.$G$$\lceil G \rceil$$\bigcup_n \mathrm{Alt}(B^n)$$(\pi_1, \pi_2) \mapsto \pi_1 \circ \pi_2$$|$

Diketahui bahwa untuk semua , mari kita perbaiki untuk konkretnya. Konkretnya ini berarti bahwa setiap untuk setiap dapat ditulis sebagai untuk beberapa , di mana untuk setiap terdapat dan sedemikian rupa sehingga for semua .$\lceil G_N \rceil = G_\infty$$N \geq 4$$N = 4$$\pi \in \mathrm{Alt}(B^n)$$n \geq N$$\pi = \phi_k \circ \cdots \circ \phi_2 \circ \phi_1$$k$$\phi_i$$\ell_i$$\pi_i \in \mathrm{Alt}(B^4)$$\phi_i(u \cdot v \cdot w) = u \cdot \pi_i(v) \cdot w$$|u| = \ell_i, |v| = 4$

Untuk permutasi genap. Jika , tentukan kompleksitas gerbang reversibel sebagai minimum sehingga dapat ditulis sebagai komposisi seperti yang di atas. Jika , tentukan kompleksitas gerbang menjadi . (Seseorang mungkin ingin mengizinkan konjugasi gerbang oleh permutasi oleh . Ini mengubah kompleksitas gerbang hanya dengan faktor linier, jadi untuk tujuan saat ini tidak masalah.)$\pi \in \mathrm{Alt}(B^n)$$n \geq 4$k π n < 4 π 1 u a b v ↦ u b a v$k$$\pi$$n < 4$$\pi$$1$$uabv \mapsto ubav$

Misalkan kedua dan kebalikannya secara efisien dapat dihitung dalam beberapa hal, misalnya waktu polinomial, NC , logspace ... Apakah kompleksitas gerbang reversibel dari maka harus polinomial dalam ?$\pi \in \mathrm{Alt}(B^n)$d π n$^d$$\pi$$n$

Saya tertarik pada jawaban atau referensi.

Beberapa pengamatan:

• Bukti teorema Barrington menunjukkan bahwa untuk , jika adalah dari bentuk khusus untuk beberapa fungsi , sedemikian rupa sehingga permutasi dalam serat bahkan untuk setiap , maka kompleksitas gerbang reversibel dari adalah polinomial dalam setiap kali berada di NC . Yaitu jika ada sirkuit NC untuk , maka ada sirkuit NC (lebih besar dengan faktor konstan) dengan$m \geq 3$$\pi$$\pi(u \cdot w) = \psi(u, w) \cdot w$$\psi : B^m \times B^n \to B^m$$w$$\{u \cdot w \;|\; u \in B^m\}$$w \in B^n$$\pi$$n$$\pi$1 1 ψ 1 2 m ! / 2 m n π$^1$$^1$$\psi$$^1$$2^m!/2$ node output khusus yang merekam apakah permutasi tertentu dilakukan dalam koordinat pertama . Kita kemudian dapat menunjukkan (seperti dalam bukti teorema Barrington) bahwa untuk setiap node dalam jaringan ini, setiap permutasi yang dikondisikan pada nilai apa pun dari node itu, memiliki kompleksitas sirkuit ukuran polinomial dalam . Sekarang gabungkan yang terkait dengan node khusus baru untuk mendapatkan kompleksitas gerbang polinomial untuk .$m$$n$$\pi$

• Trik Bennett menunjukkan (antara lain) bahwa jika dan memiliki kompleksitas gerbang (dihitung oleh jaringan asiklik gerbang dua input klasik) , lalu ada permutasi dengan polinomial gerbang kompleksitas reversibel dalam sedemikian rupa sehingga untuk semua . Yakni, biarkan menghitung nilai-nilai dari jaringan di babak bit, wrt beberapa pemilahan topologi jaringan (dengan asumsi mereka , jika tidak kami tidak peduli). Mari$\pi \in \mathrm{Alt}(B^n)$$\pi^{-1}$$m$$m$$\pi' \in \mathrm{Alt}s(B^{n+m})$$n + m$$\pi'(u \cdot 0^{n+m}) = (\pi(u) \cdot 0^{n+m})$$u \in B^n$$f$$m$$0$$g$menjadi peta yang menjumlahkan jawaban bit ke bit setelah . Biarkan menukar kata pertama dan kedua dengan panjang . Kemudian membuktikan klaim.$n$$n$$u$$h$$n$$h \circ f^{-1} \circ g \circ f$

• Bijections satu arah dalam kriptografi adalah permutasi , yang memiliki properti yang dapat dihitung dalam waktu polinomial, tetapi tidak dapat dibalik dalam waktu polinomial. (Properti pendefinisian mereka jauh lebih kuat, tapi saya rasa ini tidak relevan di sini.) Saya tidak tahu apakah definisi khusus ini ada hubungannya dengan masalah saat ini, karena kita sedang berhadapan dengan model perhitungan yang tidak seragam .$B^n$

Biarkan menjadi fungsi. Kemudian tentukan sebuah Lection dengan membiarkan . Kemudian jika memiliki kompleksitas gerbang reversibel , maka dapat dihitung dengan gerbang sirkuit Boolean dengan lebar . Dengan kata lain, memiliki kompleksitas gerbang reversibel rendah hanya ketika dihitung oleh sirkuit dengan lebar sangat rendah.$f:2^{m}\rightarrow 2^{n}$$L_{f}:2^{m}\times 2^{n}\rightarrow 2^{m}\times 2^{n}$$L_{f}(x,y)=(x,f(x)\oplus y)$$L_{f}$$k$$f$$O(k)$$m+n$$L_{f}$$f$