Apa contoh paling sulit untuk masalah isomorfisme kelompok?

Dua kelompok dan dikatakan isomorfik jika terdapat homomorfisme dari ke yang bersifat bijektif. Masalah isomorfisme kelompok adalah sebagai berikut: diberikan dua kelompok, periksa apakah isomorfis atau tidak. Ada berbagai cara untuk memasukkan grup, dua yang paling banyak digunakan adalah dengan tabel Cayley dan oleh genset. Di sini saya mengasumsikan kelompok input diberikan oleh tabel Cayley mereka. Lebih formal:$(G,\cdot)$$(H, \times)$$G$$H$

$\textbf{Group Isomorphism Problem}$

$\textbf{Input : }$ Dua grup dan .$(G,\cdot)$$(H,\times)$

$\textbf{Decide : }$ Apakah ?$G \cong H$

Mari kita asumsikan bahwa$n = |G| = |H|$

Group Isomorphism masalah ketika kelompok input diberikan oleh tabel Cayley tidak diketahui berada di secara umum. Meskipun ada kelas grup seperti kelas grup abelian yang masalahnya diketahui dalam waktu polinomial, grup yang merupakan perpanjangan dari grup abelian, grup sederhana, dll. Bahkan untuk kelas nilpoten dua grup, tidak ada algoritma yang lebih baik daripada brute force. dikenal.$\textbf{P}$

Algoritma brute force untuk isomorfisma kelompok diberikan oleh Tarjan, yaitu sebagai berikut. Mari dan adalah dua kelompok masukan, dan biarkan menjadi generating set dari kelompok . Ini adalah fakta yang diketahui bahwa setiap grup hingga mengakui set menghasilkan ukuran dan yang dapat ditemukan dalam waktu polinomial. Jumlah gambar dari himpunan himpunan dalam homomorfisme dari ke adalah banyak. Sekarang, periksa apakah masing-masing kemungkinan homomorfisme bijektif atau tidak. Keseluruhan runtime akan menjadi .$G$$H$$S$$G$$\mathcal{O}(\log n)$$S$$G$$H$$n^{\log n}$$n^{\log n + \mathcal{O}(1)}$

Biarkan saya pertama menentukan pusat grup :$G$

$Z(G)$ menunjukkan unsur-unsur dari kelompok yang kemacetan dengan semua elemen lain dari kelompok . Grup yang (/ digunakan untuk hasil bagi) adalah abelian dikenal sebagai kelas dua grup nilpotent. Bagi saya tampaknya kelas dua kelompok nilpotent adalah contoh paling sulit untuk menyelesaikan masalah isomorfisme kelompok. Arti "contoh paling sulit" adalah: memecahkan kasus itu akan memungkinkan para peneliti yang bekerja dalam teori kelompok untuk memecahkan masalah isomorfisme dari sejumlah besar kelompok.$G$$G$$G/Z(G)$

Awalnya, saya berpikir bahwa kelompok sederhana adalah contoh yang paling sulit karena mereka membangun blok semua kelompok, tetapi kemudian mengetahui bahwa masalah isomorfisme untuk kelompok sederhana ada di .$\textbf{P}$

Pertanyaan : Apa contoh paling sulit untuk masalah isomorfisme kelompok?

$p$ -kelompok kelas 2 dan eksponen secara luas diyakini sebagai kasus tersulit dari Kelompok Isomorfisme ( ). (Untuk , kita perlu mempertimbangkan eksponen 4, karena semua kelompok eksponen 2 adalah abelian - latihan yang mudah bagi pembaca.) Meskipun belum ada pengurangan dari GpIso umum ke kelas kelompok ini (meskipun lihat poin 0.5 di bawah) ), ada beberapa alasan untuk kepercayaan ini. Biarkan saya uraikan beberapa di sini.$p$$p > 2$$p=2$

0) Pengalaman praktis (lihat makalah oleh Newman, Eick, O'Brien, Holt, Cannon, Wilson, ... yang memberikan algoritma yang diimplementasikan dalam GAP dan MAGMA).

0,5) [EDIT: ditambahkan 8/7/19] Pengurangan. Ketika -group tersebut diberikan dengan menghasilkan set matriks lebih dari , masalahnya adalah -complete [ G.-Qiao '19 ]. Juga (lih. Butir (4) di bawah), isomorfisma kelompok eksponen dan kelas berkurang dalam waktu poli menjadi isomorfisma kelompok eksponen dan kelas 2 (ibid.).$p$$\mathbb{F}_p$$\mathsf{TI}$ p p c < p p p$p$$p$$c < p$$p$$p$

1) Struktur (kurangi menjadi solvable, lalu ke -group). Setiap grup hingga mengandung subkelompok normal maksimal yang dapat dipecahkan, yang disebut radikal terlarut, dinotasikan . tidak mengandung subkelompok normal abelian, dan isomorfisme kelompok tersebut dapat ditangani secara efisien dalam praktik ( Cannon-Holt J. Symb. Comput. 2003 ) dan secara teori ( Babai-Codenotti-Qiao ICALP 2012 ). Bahkan untuk grup di mana abelian, beberapa di antaranya dapat ditangani dalam waktu ( G-Qiao CCC '14, SICOMP '17 ) - jadi, tidak terlalu polinomial, tetapi lebih dekat dari$p$$Rad(G)$$G/Rad(G)$$Rad(G)$$n^{O(\log \log n)}$$n^{\log n}$. Kendala utama dengan demikian tampaknya adalah kelompok (sub normal) yang dapat dipecahkan. Sekarang, di dalam kelompok yang dapat dipecahkan, ada banyak struktur - dimulai dengan fakta bahwa setiap kelompok yang dapat dipecahkan adalah produk rajutan dari -sub grup Sylow - dan tampaknya kasus yang paling sulit adalah grup.$p$$p$

2) Menghitung. Jumlah grup urutan adalah , di mana adalah eksponen terbesar dari semua prime membagi ( Pyber 1993 ). Jumlah -kelompok pesanan setidaknya ( Higman 1960 ). Jadi Anda melihat bahwa koefisien istilah terkemuka dalam eksponen cocok. Dalam pengertian ini "sebagian besar" grup adalah -group (bahkan dari kelas 2 dan eksponen ). Ada dugaan lama yang mengatakan bahwa "sebagian besar" dalam arti lemah sebelumnya dapat diperkuat untuk mengatakan bahwa proporsi kelompok tatanan$n$$\leq n^{(\frac{2}{27} + o(1))\mu(n)^2}$$\mu(n)$$n$$p$$n=p^m$$p^{(\frac{2}{27} + o(1))m^2}$pp≤npn→∞$p$$p$$\leq n$ yang merupakan -group cenderung 1 sebagai .$p$$n \to \infty$

3) Universalitas (/ keliaran). Memberikan klasifikasi -group akan menyiratkan klasifikasi semua representasi modular dari setiap kelompok hingga (atau bahkan aljabar Artinian) dalam karakteristik ( Sergeichuk 1977 ).$p$$p$

4) Fleksibilitas. Mengapa -group kelas 2 dan bukan kelas yang lebih tinggi? (Perhatikan bahwa -groups kelas hampir-maksimal, yang disebut "coclass kecil", telah dasarnya diklasifikasikan, Eick & Leedham-Green 2006 , lihat juga beberapa jawaban di sini .) Untuk setiap$p$$p$p p p c < p$p$-kelompok satu dapat mengaitkan Lie ring bertingkat, di mana braket di Lie ring sesuai dengan komutator dalam grup. Associativity dalam grup menyiratkan identitas Jacobi untuk braket, sehingga menimbulkan cincin Lie asli. Namun, perhatikan bahwa ketika grup tersebut adalah kelas 2, identitas Jacobi sepele terpuaskan (semua ketentuannya secara otomatis 0), jadi ini tidak menempatkan kendala tambahan pada struktur. Ini pada dasarnya hanya sesuai dengan peta bilinear miring-simetris sewenang-wenang. Untuk -group eksponen , bahkan ada pengurangan dari kelas ke kelas 2.$p$$p$$c < p$