Pengurangan kesalahan deterministik, canggih?


12

Asumsikan seseorang memiliki algoritma acak (BPP) A menggunakan r bit keacakan. Cara alami untuk memperbesar probabilitas keberhasilannya menjadi 1δ , untuk setiap δ>0 , adalah

  • Berjalan independen + suara terbanyak: jalankan A secara independen T=Θ(log(1/δ) kali, dan mengambil suara mayoritas dari output. Ini membutuhkan rT=Θ(rlog(1/δ)) bit keacakan, dan meledakan waktu berjalan dengan faktor T=Θ(log(1/δ)) .
  • Berjalan bebas berpasangan + Chebyshev: jalankan A "berpasangan-independen" T=Θ(1/δ) kali, dan dibandingkan dengan ambang batas. Ini membutuhkan rT=Θ(r/δ) bit keacakan, dan meledakkan waktu berjalan dengan a T=Θ(1/δ) faktor.

Karp, Pippenger, dan Sipser [1] (tampaknya; saya tidak bisa mendapatkan kertas itu sendiri, ini adalah akun bekas) yang memberikan pendekatan alternatif berdasarkan ekspander reguler yang kuat: pada dasarnya, lihat 2r node dari expander sebagai benih acak. Pilih simpul acak dari expander menggunakan bit acak r , lalu

  • lakukan jalan acak pendek dengan panjang T=Θ(log(1/δ)) dari sana, dan jalankan A pada biji T sesuai dengan node di jalan, sebelum mengambil suara mayoritas. Ini membutuhkan r+T=r+Θ(log(1/δ)) bit keacakan, dan meledakkan waktu berjalan dengan faktor T=Θ(log(1/δ)) .

  • jalankan A pada semua tetangga dari node saat ini (atau, lebih umum, semua node dalam jarak c dari node saat ini) sebelum mengambil suara terbanyak. Hal ini memerlukan r bit keacakan, dan pukulan up waktu berjalan oleh T=d faktor, di mana d adalah derajat (atau dc untuk jarak- c lingkungan. Menyiapkan parameter baik, ujung ini sampai biaya T=poly(1/δ) sini.

Saya tertarik pada peluru terakhir, yang sesuai dengan pengurangan kesalahan deterministik . Apakah ada perbaikan setelah [1], mengurangi ketergantungan T pada δ ? Apa pencapaian terbaik saat ini - 1/δγ untuk mana γ>1 ? γ>0 ? (Untuk BPP ? Untuk RP ?)

Catatan: Saya juga (sangat) tertarik dengan RP bukan BPP . Seperti yang diperkenalkan pada [2], konstruksi yang relevan kemudian tidak lagi berekspansi, tetapi disperser (lihat misalnya, catatan kuliah ini oleh Ta-Shma, esp. Tabel 3). Saya tidak dapat menemukan batas yang sesuai untuk amplifikasi deterministik (bukan bit lebih acak daripada r diizinkan ), namun, atau (lebih penting) apa konstruksi disperser eksplisit state-of-the-art untuk rentang parameter yang relevan adalah .


[1] Karp, R., Pippenger, N. dan Sipser, M., 1985. Tradeoff pengacakan waktu . Dalam Konferensi AMS tentang Kompleksitas Komputasi Probabilistik (Vol. 111).

[2] Cohen, A. dan Wigderson, A., 1989, Oktober. Disperser, amplifikasi deterministik, dan sumber acak yang lemah. Dalam Simposium Tahunan ke-30 tentang Yayasan Ilmu Komputer (hlm. 14-19). IEEE.


Pemahaman saya adalah sebagai berikut (sebagian besar pada catatan kuliah Ta-Shma yang disebutkan sebelumnya , yang dari van Melkebeek , dan yang oleh Cynthia Dwork . Sejauh yang saya tahu, disperser sangat bagus untuk memperkuat secara eksponensial dengan memberikan beberapa bit acak lagi , tetapi tidak jika ada 0 bit tambahan keacakan
Clement C.

(Jika seseorang mau menggunakan beberapa bit tambahan ini, maka kuliah Ta-Shma memiliki seperangkat tabel ringkasan yang sangat bagus). Dengan tidak ada keacakan tambahan ,, pendekatan BPP / RP berbasis expander tampak seperti satu-satunya (lihat catatan van Melkebeek untuk BPP, Dwork's untuk varian RP,: keduanya sangat mirip dan berdasarkan pada kertas [1], di mana saya tidak dapat menemukan pdf langsung). Tampaknya tidak ada yang memberikan batas eksplisit pada tingkat polinomial dalam , karena tergantung pada derajat dan perluasan grafik expander. poly(1/δ)
Clement C.

Paling tidak akan linear dalam : tapi apa itu untuk konstruksi grafik expander (saat ini) paling dikenal? Sebenarnya, bahkan untuk konstruksi probabilistik? 1/δ
Clement C.

Juga relevan (tetapi tidak menjawab pertanyaan spesifik): Bagian 3.5.4, dan Bagian 4 (Masalah 4.6) dari Pseudorandomness Salil Vadhan .
Clement C.

Jawaban:


3

Bukankah catatan kuliah van Melkebeek sudah memberikan batas O(1/δ) ? Batasnya ada λ paling banyak O(δ)dan kita bisa mendapatkanλ=O(1/d)menggunakan konstruksi yang ada.

Dalam catatan kuliah Dwork juga, kondisi yang diperlukan adalah bahwa ekspansi menjadi C/δ untuk beberapa konstanta C (melihat titik dalam jarak c pada dasarnya menggunakan powering untuk meningkatkan ekspansi). Yang lagi bisa didapatkan dengan derajat O(1/δ) .

Ω(1/δ)


α>0dR=2rλδCαCαd(N,d)λC/dNdd=Oα(1/δ)

dd1λ=O(1/d) nnO((log3d)/d)
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.