Analisis matematis dan kompleksitas komputasi?

kompleksitas komputasi melibatkan sejumlah besar Combinatorics dan teori bilangan, beberapa ilmu pengetahuan dari stokastik, dan jumlah aljabar yang muncul.

Namun, sebagai seorang analis, saya bertanya-tanya apakah ada aplikasi analisis dalam bidang ini, atau mungkin ide-ide yang terinspirasi oleh analisis. Yang saya tahu yang sedikit sesuai dengan ini adalah transformasi Fourier pada grup hingga.

Bisakah kamu membantuku?

Flajolet dan Sedgewick menerbitkan buku "Analytic Combinatorics" http://algo.inria.fr/flajolet/Publications/AnaCombi/anacombi.html . Saya tidak tahu banyak tentang topik itu, tetapi orang-orang di lapangan menggunakan alat dari analisis yang kompleks. Sejauh ini, aplikasi mereka tampaknya lebih pada analisis algoritma, bukan pada kompleksitas komputasi, sejauh yang saya lihat.

Algoritma Markov Chain Monte Carlo adalah alat yang berguna untuk menemukan algoritma aproksimasi. Beberapa teknik untuk menunjukkan bahwa campuran rantai Markov ini diilhami oleh atau berasal langsung dari analisis - misalnya lihat bab tentang memperkirakan volume benda cembung dalam buku Mark Jerrum tentang penghitungan .

Ada pendekatan analitik untuk lemma Szemerédi, yang memiliki aplikasi lucu untuk pengujian properti kombinasi. Lemma for the Analyst dari Szemerédi memiliki algoritma acak untuk menemukan partisi grafik yang lemah; juga lihat Batas Grafik dan Pengujian Parameter .

Analisis fungsional memainkan peran yang semakin penting dalam teori metric embeddings. Meskipun sulit untuk menyebutkan semua aspek interaksi, tema utama adalah penggunaan metode dari analisis fungsional untuk memahami bagaimana metrik dimasukkan ke dalam ruang bernorma. Masalah terakhir ini muncul dalam masalah pemotongan paling jarang, yang merupakan masalah optimisasi grafik yang penting.

Untuk informasi lebih lanjut, sumber yang baik adalah apa saja oleh Assaf Naor .

Bukan tentang kompleksitas komputasi, tetapi tetap menarik

Beberapa pendekatan untuk semantik komputasi tak terbatas didasarkan pada ruang metrik. "Google semantik ruang metrik" muncul banyak. Satu referensi (kuno) tentang topik ini adalah Control Flow Semantics oleh de Bakker dan de Vink. Beberapa pekerjaan baru-baru ini telah dilakukan oleh Neel kita sendiri , yaitu Ultrametric Semantics for Program Reactive . Area ini sangat berbeda dari yang dijelaskan di atas, tetapi konsep-konsep dari analisis tentu menemukan rumah di sini.

The sumber daya dibatasi mengukur teori yang dikembangkan oleh Jack Lutz adalah wilayah besar bagi orang-orang yang memiliki latar belakang dalam analisis untuk bekerja pada. Kertas asli

Hampir di semua tempat kompleksitas tinggi yang tidak seragam , Jack H. Lutz, Jurnal Ilmu Komputer dan Sistem, 1992.

menggeneralisasi gagasan langkah Lebesgue ke dalam kelas kompleksitas, dan banyak karya berikut dapat ditemukan di internet.

$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{ESPACE} = \mathsf{DSPACE}[2^{O(n)}]$, dan buktikan bahwa ukuran $\mathsf{P}$ lebih kecil dari ukuran $\mathsf{NP}$, kemudian $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$. Selain itu, kita dapat membuktikan pernyataan seperti "hampir semua fungsi di Windows 7"$\mathsf{ESPACE}$ perlu $\Omega(2^n/n)$ gerbang ", yang memanjang Shannon terikat ke kelas terbatas $\mathsf{ESPACE}$.

People who are working in different areas of computer science may benefit from various subfields of analysis.

To give you a concrete example, I'll describe my own case. I'm conducting research in foundations of cryptography. In this field (as well as in the computational complexity), there's a construct called the random oracle (see also this page). Its various properties are sometimes studied by exploiting tools from measure theory, which is a subfield of analysis. Such treatment can be found in this paper, as well as in several papers which cite it.

You can also take a look at Basics of Algebra and Analysis for Computer Science by Jean Gallier. It's a book in progress, and tells you what's new in the field.

I believe the best connection between mathematical analysis and complexity theory is in the Blum et al's real computation model. It is still an open problem to separate NP_R from P_R, where the two classes are defined in the real computation model, in which every real number is an entity, and one regular operation (+,-,*,/) takes one step.