Masalah partisi dengan batasan pesanan

Dalam OrderedPartitionmasalah, input adalah dua urutan $n$ bilangan bulat positif, $(a_i)_{i\in [n]}$ dan $(b_i)_{i\in [n]}$ . Outputnya adalah partisi dari indeks $[n]$ menjadi dua himpunan bagian terpisah, $I$ dan $J$ , sehingga:

1. $\sum_{i\in I} a_i = \sum_{j\in J} a_i$
2. Untuk semua $i\in I$ dan untuk semua $j\in J$ : $b_i\leq b_j$ .

Dengan kata lain, kita harus urutan pertama indeks pada baris sehingga $b_i$ meningkat lemah, dan kemudian memotong jalur sehingga jumlah dari $a_i$ di kedua sisi adalah sama.

Jika semua $b_i$ sama, maka kondisi 2 tidak relevan dan kami memiliki contoh masalah NP-hard Partition. Di sisi lain, jika semua $b_i$ berbeda, maka kondisi 2 memaksakan urutan tunggal pada indeks, sehingga hanya ada opsi $n-1$ untuk diperiksa, dan masalahnya menjadi polinomial. Apa yang terjadi di antara kasus-kasus ini?

Untuk meresmikan pertanyaan, tentukan oleh OrderedPartition[n,d], untuk $1\leq d\leq n$ , masalah terbatas pada contoh ukuran $n$ , di mana bagian terbesar dari $b_i$ s identik adalah dari ukuran $d$ . Jadi kasus yang mudah, ketika semua $b_i$ -s berbeda, adalah OrderedPartition[n,1], dan hard case, ketika semua $b_i$ -s identik, adalah OrderedPartition[n,n].

Secara umum, Untuk setiap $n$ dan $d$ , dalam OrderedPartition[n,d]contoh apa pun , jumlah partisi yang memungkinkan dengan kondisi 2 adalah $O(n 2^d)$ . Oleh karena itu, jika $d\in O(\log{n})$ , maka OrderedPartition[n,d]masih polinomial dalam $n$ .

Di sisi lain, untuk setiap $n$ dan $d$ , kita dapat mengurangi dari Partitionmasalah $d$ bilangan bulat untuk OrderedPartition[n,d]. Biarkan $p_1,\ldots,p_d$ menjadi contoh dari Partition. Definisikan instance OrderedPartition[n,d]oleh:

• Untuk setiap $i\in \{1,\ldots,d\}$ , biarkan $a_i := 2n\cdot p_i$ dan $b_i := 1$ .
• Untuk setiap $i\in \{d+1,\ldots,n\}$ , biarkan $a_i := 1$ dan $b_i := i$
  _{[jika $n-d$ adalah aneh, membuat $a_n:=2$ sehingga jumlahnya akan lebih]} .

Oleh karena itu, jika $d\in\Omega(n^{1/k})$ , untuk bilangan bulat $k\geq 1$ , maka OrderedPartition[n,d]NP-hard.

PERTANYAAN: Apa yang terjadi dalam kasus-kasus menengah, di mana $d$ adalah super-logaritmik tetapi sub-polinomial dalam $n$ ?

Secara intuitif, kasus-kasus antara seharusnya tidak dalam P, atau NP-keras. Mungkin itu tergantung persis pada apa yang kita maksud dengan "kasus menengah". Ini adalah salah satu interpretasi yang dengannya kita dapat membuktikan sesuatu.

Catatan: Hipotesis Eksponensial-Waktu , atau ETH, adalah tidak demikian halnya, untuk setiap konstanta $\epsilon>0$ , SAT memiliki algoritma yang berjalan dalam waktu $2^{n^{\epsilon}}$ . Lihat juga diskusi cs.stackexchange ini . Sejauh yang kami tahu, ETH benar.

Definisikan OP c sebagai batasan dari masalah OrderedPartition menjadi instance di mana d ≤ log c n . Sama dengan contoh di mana n ≥ 2 d 1 / c . Di sini kami bermaksud OP c untuk menangkap apa yang dimaksud postingan dengan "instance perantara". Kami menunjukkan bahwa instance ini tidak mungkin dalam P, atau NP-hard.$_c$$d \le \log^c n$$n \ge 2^{d^{1/c}}$$_c$

Lemma 1. Jika OP c dalam P untuk semua c , maka ETH gagal.$_c$$c$

Bukti. Misalkan OP c dalam P untuk semua c . Yaitu, untuk beberapa fungsi f , OP c memiliki algoritme yang berjalan dalam waktu n f ( c ) . Input SAT dari ukuran n mengurangi (melalui Partisi seperti yang dijelaskan dalam posting) ke OrderedPartition [ 2 n b / c , n b ] , untuk beberapa konstanta b dan konstanta apa pun c > 0 . Jadi, input SAT dari ukuran n dikurangi menjadi OP c contoh ukuran 2 n$_c$$c$$f$$_c$$n^{f(c)}$$n$$[2^{n^{b/c}}, n^b]$$b$$c>0$$n$$_c$$2^{n^{b/c}}$ , yang dapat diselesaikan dalam waktu$2^{f(c)n^{b/c}}$ melalui algoritma untuk OPc. Untukϵ>0, dengan mengambil, katakanlah,c=2b/ϵ, SAT dapat diselesaikan dalam waktu2 c ′ n ϵ / 2 ≤2 n ϵ (untuknbesar), melanggar ETH. ◻$_c$$\epsilon>0$$c=2b/\epsilon$$2^{c' n^{\epsilon/2}} \le 2^{n^{\epsilon}}$$n$$~~~~\Box$

$_2$$2^{\sqrt n}$

$_c$$c$

$_c$$c$$n$$_c$$O(n^b)$$b$$[n^b, d]$$d\le \log^c (n^b)$$n^{O(1)} 2^d = n^{O(1)} 2^{\log^c (n^b)}$$~~~~\Box$

$_{d(n)}$$n$$d(n)$$d$$[n, d(n)]$$_{d(n)}$$n$$d$$_{p(n)}$$p(n)$$p(n)$

ps Lihat juga Konsekuensi dari bukti / algoritma sub-eksponensial untuk SAT .