Menemukan prime lebih besar dari batasan yang diberikan

Apakah algoritme waktu polinomial deterministik yang dikenal untuk masalah berikut:

Input: angka alami $n$ (dalam pengkodean biner)

Output: bilangan prima $p > n$ .

(Menurut daftar masalah terbuka oleh Leonard Adleman, masalahnya terbuka pada 1995.)

— Vincenzo
sumber

+1: Ini mengingatkan saya bahwa masalah keputusan alami yang sesuai bukanlah pengujian primality (yang ada di

) tetapi masalah berikut: diberikan

, apakah ada bilangan prima dalam interval

P

$\mathbf{P}$

a < b

$a<b$

[a, b]

$[a,b]$

— Kaveh

@ Kaveh: Tiga jari menunjuk ke arahku, kurasa. Kita harus membuat kebijakan yang melarang jawaban dalam komentar;)

— Hsien-Chih Chang 張顯之

Jawaban:

Hasil tanpa syarat terbaik saat ini diberikan oleh Odlyzko, yang menemukan di $p >N$ waktu. Dugaan kuat dalam proyek Polymath4 berusaha untuk menyelesaikan jika ini dapat dilakukan dalam waktu polinomial, di bawah asumsi teoretik-bilangan yang masuk akal seperti GRH. $O(N^{1/2 + o(1)})$

http://michaelnielsen.org/polymath1/index.php?title=Finding_primes

Saat ini proyek berupaya menjawab pertanyaan berikut:

Diberi angka dan interval antara dan , waktu check in $N$ $N$ $2N$ untuk beberapajika interval mengandung prima. $O(N^{1/2 - c})$ $c>0$

Sejauh ini, mereka memiliki strategi yang menentukan paritas jumlah bilangan prima dalam interval.

http://polymathprojects.org/2010/06/29/draft-version-of-polymath4-paper/

— Cong Han
sumber

Dengan asumsi dugaan standar dalam teori bilangan, yang menyatakan itu

Dugaan Cramér : Biarkan menjadi perdana ke-n. Kemudian . $p_n$ $p_{n+1}-p_n = O(\log^2 p_n)$

Kami memiliki algoritma polinomial-waktu deterministik untuk masalah, hanya dengan menjalankan tes primality pada setiap nomor lebih besar dari mulai dari . (Tentu saja, harus cukup besar; untuk kecil kami diperlakukan secara terpisah.) $n$ $n+1$ $n$ $n$

Tapi saya tidak yakin ini bisa dibuktikan tanpa syarat.

— Hsien-Chih Chang 張顯之
sumber

Saya ingin tahu bagaimana dugaan standar Cramér. Saya mendapat kesan bahwa kemungkinan itu bertentangan.

— Cong Han

@Cong: Saya tidak terlalu mengenal dugaan ini, dan kesan saya adalah bahwa kami memiliki bukti dalam hasil numerik dan juga berlaku dalam model acak. Adakah indikasi bahwa dugaan itu salah? Mungkin saya harus menyatakan 'kuat' daripada 'standar'.

— Hsien-Chih Chang 張顯之

@ Hsien-Chih: Saya tahu sedikit tentang ini (selain beberapa desas-desus dan memiliki minat yang lewat dalam proyek-proyek Polymath), tetapi artikel ini oleh Granville, yang ditautkan dari wiki pada dugaan itu, tampaknya menyarankan demikian: dartmouth.edu/~ chance / chance_news / for_chance_news / Riemann / ...

— Cong Han

@Cong: Sepertinya bacaan yang bagus, saya akan membacanya dalam beberapa hari!

— Hsien-Chih Chang 張顯之