Menghitung jumlah polinomial yang jarang dikuadratkan dalam waktu O (n log n)?

Misalkan kita memiliki polinomial $p_1,...,p_m$ derajat paling banyak , , sedemikian sehingga jumlah total koefisien bukan nol adalah (yaitu polinomialnya jarang). Saya tertarik pada algoritma yang efisien untuk menghitung polinomial:$n$$n>m$$n$

Karena polinomial ini memiliki derajat paling banyak , ukuran input dan output adalah . Dalam kasus kita dapat menghitung hasilnya menggunakan FFT dalam waktu . Bisakah ini dilakukan untuk ? Jika ada bedanya, saya tertarik pada kasus khusus di mana koefisien adalah 0 dan 1, dan perhitungan harus dilakukan melalui bilangan bulat.O ( n ) m = 1 O ( n log n ) m < $2n$$O(n)$$m=1$$O(n \log n)$$m<n$

Memperbarui. Saya menyadari bahwa solusi cepat untuk hal di atas akan menyiratkan kemajuan dalam perkalian matriks cepat. Secara khusus, jika maka kita dapat membacakan sebagai koefisien dalam . Jadi, menghitung berhubungan dengan menghitung produk luar dari dua vektor, dan menghitung jumlah berhubungan dengan menghitung produk matriks. Jika ada solusi menggunakan waktu untuk komputasi maka kita bisa kalikan dua -by- matriks dalam waktu a i k b k j x i + n j p k ( x ) 2 p k ( x ) 2 Σ k p k ( x ) 2 f $p_k(x)=\sum_{i=1}^n a_{ik} x^i + \sum_{j=1}^n b_{kj} x^{nj}$$a_{ik} b_{kj}$$x^{i+nj}$$p_k(x)^2$$p_k(x)^2$$\sum_k p_k(x)^2$∑ k p k ( x ) 2 n n f ( n 2 , n $f(n,m)$$\sum_k p_k(x)^2$$n$$n$$f(n^2,n)$, yang berarti bahwa untuk akan membutuhkan terobosan besar. Tetapi , di mana adalah eksponen saat ini dari perkalian matriks, dimungkinkan. Gagasan, siapa saja?m ≤ n f ( n , m ) = n ω / 2$f(n,m)=O(n\log n)$$m\leq n$$f(n,m)=n^{\omega/2}$$\omega$

Mengkuadratkan polinomial dengan koefisien bukan nol membutuhkan waktu menggunakan perkalian term-by-term biasa, jadi ini harus lebih disukai daripada FFT untuk polinomial-polinomial mana . Jika , maka jumlah polinomial dengan lebih besar dari adalah , dan ini akan membutuhkan waktu untuk menyiku dan menggabungkan (seperti halnya polinomial yang tersisa). Ini merupakan peningkatan dari terikat ketika adalah . O ( x 2 i ) x i < $x_i$$O(x_i^2)$$x_i < \sqrt{n \log n}$$\sum_i x_i = n$$x_i$$\sqrt{n \log n}$$O(\sqrt{n / \log n})$$O(n^{3/2}({\log n})^{1/2})$$O(m n \log n)$$m$$\Theta(\sqrt{n / \log n})$

Bukan jawaban lengkap tapi mungkin bermanfaat.

Peringatan: Ini hanya berfungsi dengan baik jika dukungan dari kecil.$p_i^2$

Untuk polinomial , misalkan S q = { i ∣ a i ≠ 0 } menjadi pendukungnya dan s q = | S q | menjadi ukuran dukungan. Sebagian besar p i akan jarang, yaitu akan memiliki dukungan kecil.$q = a_0 + a_1x + \dots +a_nx^n$$S_q = \{i \mid a_i \not= 0\}$$s_q = |S_q|$$p_i$

Ada algoritma untuk kalikan jarang polinomial dan b dalam waktu kuasi-linear dalam ukuran dukungan dari produk sebuah b , lihat misalnya http://arxiv.org/abs/0901.4323$a$$b$$a b$

Dukungan dari adalah (yang terkandung dalam) S a + S b , di mana jumlah dari dua set S dan T didefinisikan sebagai S + T : = { s + t | s ∈ S , t ∈ T } . Jika dukungan dari semua produk kecil, katakanlah, linear di n total, maka salah satu dapat hanya menghitung produk dan menambahkan semua monomials.$ab$$S_a + S_b$$S$$T$$S + T := \{s + t \mid s \in S, t \in T\}$$n$

Namun sangat mudah untuk menemukan polinomial dan b sehingga ukuran dukungan dari sebuah b adalah kuadrat dalam ukuran dukungan dari sebuah dan b . Dalam aplikasi khusus ini, kami mengkuadratkan polinomial. Jadi pertanyaannya adalah berapa banyak lebih besar S + S dibandingkan dengan S . Ukuran yang biasa untuk ini adalah angka pengganda | S + S | / | S | . Ada set dengan nomor pengganda tanpa batas. Tetapi jika Anda dapat mengecualikan set dengan angka penggandaan besar sebagai dukungan dari p $a$$b$$ab$$a$$b$$S + S$$S$$|S + S|/|S|$$p_i$, maka Anda bisa mendapatkan algoritma cepat untuk masalah Anda.

Hanya ingin mencatat algoritma perkiraan alami. Ini tidak mengambil keuntungan dari sparsity.

Anda dapat menggunakan urutan acak $(\sigma_i)_{i\in[n]}$ Mengambil $X=\sum_i \sigma_i p_i(x)$ kita dapat menghitung $X^2$ dalam $n\log n$ waktu menggunakan FFT. Kemudian $EX^2 = \sum_i p_i(x)^2 = S$ dan $\sqrt{VX^2} = O(S)$. Jadi Anda bisa mendapatkanperkiraan$1+\varepsilon$dalam waktu$O(\varepsilon^{-2} n \log n )$.