Batas bawah pada fungsi Ambang


9

Dalam kompleksitas pohon keputusan fungsi boolean, metode batas bawah yang sangat diketahui adalah untuk menemukan (perkiraan) polinomial yang mewakili fungsi. Paturi memberikan karakterisasi untuk fungsi simetris boolean (parsial dan total) dalam hal kuantitas yang dilambangkan :Γ

Teorema ( Paturi ): Misalkan menjadi fungsi simetris non-konstan, dan melambangkan f k = f ( x ) saat | x | = k (yaitu berat palu x adalah k ). Tingkat perkiraan f , dilambangkan ~ d e g ( f ) , adalah Θ ( ffk=f(x)|x|=kxkfdeg~(f), di manaΓ(f)=min{| 2k-n+1| :fkf k + 1  dan 0kn-1}Θ(n(nΓ(f)))Γ(f)=min{|2kn+1|:fkfk+1 and 0kn1}

Sekarang misalkan menjadi fungsi ambang, yaitu T h r t ( x ) = 1 jika x t . Dalam makalah ini (lih. Bagian 8, halaman 15) mengatakan bahwa ~ d e g ( f ) = Thrt(x)Thrt(x)=1xt .deg~(f)=(t+1)(Nt+1)

Perhatikan bahwa untuk fungsi threshold kita memiliki , karena ketika | x | = t - 1 fungsinya berubah dari 0 ke 1. Apakah saya benar?Γ(Thrt)=|2(t1)n+1||x|=t1

Jika saya menerapkan langsung teorema Paturi ke nilai , saya tidak mendapatkan batas bawah pada fungsi ambang batas yang dilaporkan dalam makalah lain. Apakah nilai Γ ( T h r t ) di atas benar? Apa yang saya lewatkan?ΓΓ(Thrt)

Sunting: Saya juga mencoba menghitung batas bawah musuh kuantum untuk ambang batas. Pertama, mari kita tinjau teorema.

Teorema (Musuh Kuantum Tertimbang): Biarkan menjadi fungsi boolean parsial, dan biarkan A f - 1 ( 0 ) dan B f - 1 ( 1 ) menjadi subset dari input (keras). Biarkan R A × B menjadi relasi, dan atur R i = { ( x , y ) R : x iy i } untuk setiap 1 ifAf1(0)Bf1(1)RA×BRi={(x,y)R:xiyi} . Mari m , m ' menunjukkan jumlah minimal 1s dalam setiap baris dan setiap kolom dalam kaitannya R masing-masing, dan biarkan, ' menunjukkan jumlah maksimal yang di setiap baris dan kolom di salah satu hubungan R i masing-masing. Kemudian Q 2 ( f ) = Ω ( 1inm,mR,Ri.Q2(f)=Ω(mm)

Jika saya mendefinisikan sebagai himpunan semua input dengan jumlah 1s lebih besar dari atau sama dengan t , dan A semua input dengan 1s benar-benar kurang dari t , saya mendapatkan (setelah beberapa aljabar) bahwa m m BtAt.mm=n2ln(nt)ln(nnt)

Jadi saya masih belum mendapatkan batas bawah yang sama seperti yang dilaporkan di koran lain. Sekarang, mari kita bandingkan batasan-batasan ini. Gambar di bawah ini menunjukkan untuk dan tanpa akar kuadrat, perbandingan antara teorema terikat Paturi (biru), batas musuh (merah), dan ikatan yang dilaporkan dari makalah lain (hijau).n=200

masukkan deskripsi gambar di sini

Pertanyaan saya adalah:

1 - Bagaimana saya mendapatkan ikatan dilaporkan di koran lain?

2- Anda dapat melihat dari gambar, bahwa batas bawah yang dilaporkan (hijau) juga batas bawah batas Paturi dan batas musuh. Bukankah itu melemahkan batas bawah "nyata"? Misalnya, jika Paturi mengatakan bahwa untuk semua fungsi simetris kita memiliki batas ini, lalu bagaimana Anda bisa mendapatkan batas atas yang cocok untuk penghitungan kuantum ( )? Bukankah itu batas atas melanggar teorema Paturi?(t+1)(nt+1)


Γ(Thrt)

Γ(Thrt)=|2(t1)n+1|

Γ(Thrt)

1
Saya kira mereka ingin menghindari fungsi nilai absolue. Mereka mendapatkan bentuk fungsi yang lebih mudah dan menghindari analisis kasus per kasus untuk perhitungan apa pun. Saya tertarik bagaimana mereka mendapatkan perkiraan ini dari fungsi aslinya?
Marc Bury

1
Itu sama sampai konstan.
Kristoffer Arnsfelt Hansen

Jawaban:


6

(t+1)(nt+1)n(n|(2(t1)n+1|)

t=01

n(n|(2(t1)n+1|)={n(2t1)1tn/2+1/2n(2n2t+1)n/2+1/2tn1

f1(t)=n(2t1)f2(t)=n(2n2t+1)g(t)=(t+1)(nt+1)

tf1(t)/g(t)f2(t)/g(t)g(t)/f1(t)g(t)/f2(t)n

f1(t)/g(t)f1(n/2+1/2)/g(n/2+1/2)n2n2/4=4

f2(t)/g(t)f2(n/2+1/2)/g(n/2+1/2)n2n2/4=4

g(t)/f1(t)g(1)/f1(1)=2nn=2

g(t)/f2(t)g(n1)/f2(n1)=n/2n/33/2

n(n|2(t1)n1|)=Θ((t+1)(nt+1))
n(n|2(t1)n1|)=Θ((t+1)(nt+1)).

Apakah ada cara yang lebih mudah untuk melihat / mendapatkan hasil ini?


1
(t+1)(nt+1)

terima kasih atas usaha anda !! Saya pikir ini jawabannya. Saya lebih yakin sekarang bahwa mungkin ini satu-satunya cara untuk mendapatkan hasil ini.
Marcos Villagra
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.