Memperkirakan Dimensi VC

Apa yang diketahui tentang masalah berikut?

Diberikan kumpulan fungsi , temukan subkoleksi terbesar tunduk pada kendala bahwa VC-Dimensi untuk beberapa bilangan bulat . $C$ $f:\{0,1\}^n\rightarrow\{0,1\}$ $S \subseteq C$ $(S) \leq k$ $k$

Apakah ada algoritma perkiraan atau hasil kekerasan untuk masalah ini?

— Aaron Roth
sumber

Fungsi-fungsi tampaknya tidak berperan dalam memaksimalkan | S |

— Suresh Venkat

Pilihan fungsi menentukan Dimensi-VC dari S. Masalahnya adalah menemukan kelas fungsi sebesar mungkin, dengan tunduk pada batasan dimensi-VC.

— Aaron Roth

Saya melihat. Jadi diterjemahkan menjadi "tanah geometri", Anda diberikan koleksi rentang (f bertindak sebagai fungsi karakteristik) dan Anda menginginkan subkoleksi terbesar dari dimensi VC yang dibatasi.

— Suresh Venkat

Masalah lain dalam menjawab pertanyaan: bagaimana C disajikan? Kita tahu bahwa ukuran maksimum yang mungkin dari

adalah

oleh Sauer's Lemma, dan menuliskan bahkan satu fungsi dalam

membutuhkan

bit.

S

$S$

O (2^{n k})

$O(2^{nk})$

C

$C$

n

$n$

— Suresh Venkat

Baik. Saya tertarik pada hasil dalam rezim representasi apa pun. Anda dapat membayangkan bahwa

disajikan sebagai

matriks, dalam hal ini waktu berjalan

akan menjadi `` efisien '' (walaupun bukan waktu

, yang diperlukan untuk memeriksa secara menyeluruh apakah semua koleksi titik

dihancurkan). Jika ada hasil algoritmik yang mungkin dengan hanya akses kotak hitam ke fungsi di

, itu akan lebih baik.

C

$C$

2^{n} \times | C |

$2^n\times |C|$

2^{n} \times | C |

$2^n\times |C|$

2^{n \times k}

$2^{n\times k}$

k

$k$

C

$C$

— Aaron Roth

Jawaban:

Sunting : masalah aslinya adalah -sekarang untuk mendekati saat mana menunjukkan jumlah set. $n^{1-\epsilon}$ $k=1$ $n$

The ganda dari hipergraf sebuah diperoleh dengan bertukar simpul dengan tepi, dan melestarikan insiden. Lebih mudah untuk memahami masalah ketika kita mencatat bahwa sebuah hypergraph memiliki VC-dimensi 1 jika dual-nya bebas silang (untuk semua dalam , setidaknya satu dari kosong). $P, Q$ $A$ $P \cap Q, P \backslash Q, Q \backslash P, (P \cup Q)^c$

Secara dualitas masalah asli (untuk ) adalah setara dengan, diberikan hypergraph , cari ukuran-maksimum dengan bebas silang. $k=1$ $(V, \mathcal{S})$ $U \subseteq V$ $(U, \{S \cap U \mid S \in \mathcal{S}\})$

Sebenarnya, masalah (ganda) ini sangat sulit bahkan ketika semua set dalam memiliki ukuran 2: maka itu adalah grafik dan kami sedang mencari ukuran vertex ukuran-besar yang subgraf yang diinduksikannya yang tidak mengandung jalur dua sisi ( tidak sulit untuk melihat ini adalah satu-satunya cara pasangan penyilang dapat muncul, dengan asumsi grafik memiliki setidaknya 4 simpul). Tetapi properti ini adalah turun temurun dan tidak trivial dan dengan demikian kita dapat menggunakan hasil dari Feige dan Kogan untuk menunjukkan kekerasan. $\mathcal{S}$

Balasan asli

$k=1$ $S$ $S$ $n^{1-\epsilon}$ $\Theta(n)$

$A$ $P, Q$ $A$ $P \cap Q, P \backslash Q, Q \backslash P, (P \cup Q)^c$

$G=(V, E)$ $H=(X, S)$ $X = V \uplus E \uplus \{0\}$ $0$ $v$ $G$ $T_v$ $S$

{v} \cup {e ∣ e is an edge incident to v} .

$\{v\} \cup \{e \mid e \textrm{ is an edge incident to }v\}.$

$\{T_v\}_{v \in U}$ $U$ $G$

Tetapi untuk masalah (primal) asli, tampaknya beberapa pemikiran diperlukan ... terlihat menarik!

— daveagp
sumber

Beberapa pekerjaan terkait yang relevan: Memperkirakan dimensi VC itu sendiri (apalagi menemukan subkoleksi besar dengan dimensi VC terbatas) dalam representasi Anda adalah lengkap- LOGNP (LOGNP adalah NP terbatas untuk log n bit nondeterminisme). Ada juga sedikit pekerjaan terkait dalam memperkirakan dan mendekati dimensi VC ketika presentasi ruang jangkauan lebih kompak (lihat referensi di dalamnya juga)

— Suresh Venkat
sumber