Berfungsi secara efisien sebagai contoh tandingan terhadap dugaan Mobius Sarnak

Baru-baru ini Gil Kalai dan Dick Lipton keduanya menulis artikel yang bagus tentang dugaan menarik yang diusulkan oleh Peter Sarnak, seorang ahli dalam teori bilangan dan Hipotesis Riemann.

Dugaan. Biarkan menjadi fungsi Möbius . Misalkan adalah fungsi dengan input dalam bentuk representasi biner dari , kemudian $\mu(k)$ $f: \mathbb{N} \to \{-1,1\}$ $\mathsf{AC}^0$ $k$ $k$
$\sum_{k \leq n} μ (k) \cdot f (k) = o (n) .$ $\sum_{k \leq n} \mu(k) \cdot f(k) = o(n) \text.$

Perhatikan bahwa jika maka kita memiliki bentuk yang setara dengan teorema bilangan prima . $f(k) = 1$

PEMBARUAN : Ben Green on MathOverflow menyediakan makalah singkat yang mengklaim dapat membuktikan dugaan tersebut. Lihatlah kertasnya .

Di sisi lain, kita tahu bahwa dengan menetapkan (dengan sedikit modifikasi sehingga kisarannya berada di ), jumlah yang dihasilkan memiliki estimasi Ada batas atas yang dapat dihitung dalam , jadi batasan yang diusulkan pada dalam dugaan tidak dapat dilonggarkan ke fungsi . Pertanyaanku adalah: $f(k) = \mu(k)$ $\\{-1,1\\}$

\sum_{k \leq n} μ (k)^{2} = Ω (n) .

$\sum_{k \leq n} \mu(k)^2 = \Omega(n) \text.$

μ (k)

$\mu(k)$

U P \cap c o U P \subseteq N P \cap c o N P

$\mathsf{UP} \cap \mathsf{coUP} \subseteq \mathsf{NP} \cap \mathsf{coNP}$

f (k)

$f(k)$

N P

$\mathsf{NP}$

Apa kelas kompleksitas terendah kita ketahui saat ini, sehingga fungsi di memenuhi estimasi Khususnya, karena beberapa ahli teori percaya bahwa komputasi tidak dalam , dapatkah kita menyediakan lainnya yang menyiratkan pertumbuhan linear dalam penjumlahan? Bisakah batas yang lebih baik diperoleh? $\mathsf{C}$ $f(k)$ $\mathsf{C}$
$\sum_{k \leq n} μ (k) \cdot f (k) = Ω (n) ?$ $\sum_{k \leq n} \mu(k) \cdot f(k) = \Omega(n) \text{?}$ $\mu(k)$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{P}$ $f(k)$

— Hsien-Chih Chang 張顯之
sumber

Beberapa kelas kuantum seperti P ^ {BQNC} juga harus berfungsi, karena anjak terletak di kelas itu.

— Robin Kothari

Apakah ini diketahui jika untuk fixed ?

f (k) = k_{i}

$f(k) = k_i$

i

$i$

— Manu

@ Emanuele, pertanyaan bagus. Fungsi indikator bit ke-i dalam representasi biner k adalah "polinomial braket" linier, tetapi memiliki koefisien yang sangat tinggi, sehingga mungkin tidak mengikuti dari teorema Green-Tao pada korelasi fungsi Mobius dengan terikat. -Langkah ke depan. Langkah selanjutnya yang dibatasi telah membatasi polinomial braket derajat sebagai kasus khusus, tetapi hasilnya mungkin memiliki beberapa batasan pada besarnya koefisien

— Luca Trevisan

f \in N C^{0}

$f \in NC^0$

f

$f$

{- 1, 0, 1}

$\{-1,0,1\}$

{- 1, 1}

$\{-1,1\}$