Masalah geometris yang NP-lengkap dalam

37

Sejumlah masalah geometris mudah ketika dipertimbangkan dalam , tetapi NP-lengkap dalam untuk $R^1$ $R^d$ $d\geq2$ (termasuk salah satu masalah favorit saya, unit kap disk).

Adakah yang tahu masalah yang bisa dipecahkan dengan polytime untuk dan , tetapi NP-complete untuk $R^1$ $R^2$ $R^d,d\geq3$ ?

Lebih umum, melakukan masalah ada yang NP-lengkap untuk tapi polytime dipecahkan untuk , dimana ? $R^k$ $R^{k-1}$ $k\geq3$

cc.complexity-theory reference-request cg.comp-geom

— Bob Fraser
sumber

Apakah pencocokan geometrik 3 dimensi ?

— Jukka Suomela

1

tidak juga. "3-dimensi" dalam kartesian, bukan pengertian Euclidean.

— Suresh Venkat

25

Atur penutup dengan setengah spasi.

Diberikan satu set poin di pesawat, dan satu set pesawat setengah-setengah menghitung jumlah pesawat setengah-setengah yang mencakup set titik dapat diselesaikan dalam waktu polinomial di pesawat. Namun masalahnya adalah NP keras dalam 3d (lebih sulit daripada menemukan penutup min dengan subset disk poin dalam 2d). Dalam 3d Anda diberi subset ruang setengah dan poin, dan Anda mencari jumlah ruang setengah yang mencakup titik.

Algoritma polytime dalam 2d dijelaskan di sini: http://valis.cs.uiuc.edu/~sariel/papers/08/expand_cover/

— Sariel Har-Peled
sumber

Saya agak malu bahwa saya tidak tahu hasil ini, mengingat seberapa dekat itu dengan masalah yang saya kerjakan :-) Ini juga jenis jawaban yang saya harapkan. Ketika Anda mengatakan bahwa itu lebih sulit daripada penutup disk dalam 2D, saya kira maksud Anda itu APX-keras?

— Bob Fraser

1

Masalah 2d adalah polinomial. Yang lainnya adalah NP-Hard. Namun, saya tidak berpikir masalah 3D APX sulit. Ada alasan bagus untuk meyakini bahwa PTAS mungkin terjadi, melalui pencarian lokal ...

— Sariel Har-Peled

... dan lebih keras saya maksudkan bahwa masalah disk dapat diangkat (yaitu, dikurangi) ke masalah halfspaces di 3d.

— Sariel Har-Peled

29

Ini tidak seperti yang Anda tanyakan, karena versi 3d bahkan lebih sulit daripada NP-complete, tetapi: Menemukan jalur terpendek antara dua titik di antara hambatan poligon di dalam pesawat adalah dalam waktu polinomial (paling sederhana, buat grafik visibilitas kedua terminal) dan simpul poligon dan menerapkan Dijkstra, ada juga algoritma O (n log n) yang lebih rumit karena Hershberger dan Suri, SIAM J. Comput. 1999) tetapi menemukan jalur terpendek di antara hambatan polihedral di 3d adalah PSPACE-complete (Canny dan Reif, FOCS 1987).

— David Eppstein
sumber

10

Apakah Anda yakin tentang kasus planar? Algoritme yang Anda kutip secara mendasar membutuhkan aritmatika nyata yang tepat! cstheory.stackexchange.com/questions/4034/…

— Jeffε

Er. Poin bagus. Dan saya tidak bisa keluar darinya dengan mengatakan untuk menggunakan floating point dan perkiraan, karena masalah 3d dapat didekati dengan baik. Ups. Saya kira ada "aritmatika nyata yang tepat" di mana yang satu jumlahnya banyak dan yang lain sulit, tapi tetap saja, Anda benar, itu cara lain di mana itu tidak menjawab pertanyaan.

— David Eppstein

6

Ini sangat menarik. Jumlah akar kuadrat merangkak ke sejumlah masalah di cg di mana masalahnya akan mudah kecuali untuk detail ini. Sangat bagus, karena ini adalah salah satu masalah yang Anda perlu meyakinkan orang bahwa itu sulit. Terima kasih untuk petunjuknya.

— Bob Fraser

20

Segala poligon non-cembung di dalam pesawat dapat di-triangulasi dalam waktu O (n) tanpa poin Steiner; yaitu, setiap simpul dari triangulasi adalah suatu puncak dari poligon. Selain itu, setiap triangulasi memiliki tepat segitiga n-2.

Namun, menentukan apakah polyhedron non-cembung di R ^ 3 dapat triangulasi tanpa poin Steiner adalah NP-lengkap. Hasil NP-hardness berlaku bahkan jika Anda diberi triangulasi dengan satu poin Steiner, jadi bahkan mendekati jumlah minimum poin Steiner yang diperlukan adalah NP-hard. [Jim Ruppert dan Raimund Seidel. Pada Kesulitan Triangulasi Tiga Dimensi Nonconvex Polyhedra. Komputasi Terpisah. Geom. 1992.]

Jika polyhedron yang diberikan adalah cembung, menemukan triangulasi itu mudah, tetapi menemukan triangulasi dengan jumlah minimum tetrahedra adalah NP-hard. [Alexander Below, Jesús de Loera, dan Jürgen Richter-Gebert. Kompleksitas menemukan triangulasi kecil cembung 3-polytopes . J. Algoritma 2004.]

— Jeffε
sumber

2

Terima kasih untuk petunjuknya, Jeff. Secara khusus, saya pikir hasil terakhir yang Anda sebutkan menarik. Agak mengejutkan bahwa ketika berada di dalam pesawat, jumlah simplisia yang menyusun poligon adalah konstan, tetapi ini tidak lagi berlaku dalam dimensi yang lebih tinggi dan sebenarnya sulit untuk dioptimalkan. Ini adalah jawaban yang saya harapkan.

— Bob Fraser

16

Masalah realisasi untuk polytopes dimensional adalah kandidat. Ketika , itu polinomial-waktu dipecahkan (oleh teorema Steinitz ' ), tetapi ketika , ini NP-hard. Untuk informasi lebih lanjut, silakan lihat " Ruang realisasi 4-polytopes bersifat universal " oleh Richter-Gebert dan Ziegler (ada juga versi arxiv ), dan buku " Lectures on Polytopes " (cetakan kedua) oleh Ziegler. $d$ $d \le 3$ $d \ge 4$

— Yoshio Okamoto
sumber

2

Lebih khusus daripada mengatakan bahwa itu NP-keras, itu lengkap untuk

, teori eksistensial dari bilangan real.

\exists R

$\exists\mathbb{R}$

— David Eppstein

Saya belum pernah melihat masalah ini sebelumnya, terima kasih.

— Bob Fraser

Sekali lagi, seperti jawaban David Eppstein, lebih sulit (mungkin) daripada NP-lengkap.

— Peter Shor

11

Memutuskan apakah ruang metrik dapat disematkan secara isometrik ke dalam R ^ 2 adalah mudah. Namun, NP-sulit untuk memutuskan embeddability R ^ 3.

$\ell_\infty^2$ $\ell_\infty^3$

Kertas

— Zouzias
sumber

Itu juga contoh yang bagus.

— Suresh Venkat

-2

$R^2$ $R^3$ $Z^2$ $Z^3$

$k = 2$ $Z^2$ $Z^k$ $k > 2$ .

— Kaushik Shankar
sumber

apa artinya mengatakan bahwa 2SAT "dalam" R ^ 2?

— Suresh Venkat

R^{2}

$R^2$

11

-1: Saya tidak melihat bagaimana 2SAT dalam R ^ 2. Saya tidak melihat bagaimana 2SAT adalah "masalah geometris."

— Robin Kothari

Saya minta maaf karena tidak menunjukkan masalah geometris, tetapi meskipun judulnya menanyakan masalah geometris, kedua pertanyaan di dalam komentar tidak menentukannya geometris. Selanjutnya, 2-satisfiability memiliki representasi grafik yang dikenal sebagai pencocokan 2 dimensi, yaitu dalam P, dimana 3-satisfiability sesuai dengan pencocokan 3 dimensi, yaitu NP.

— Kaushik Shankar

@Robin saya melanjutkan dan mengklarifikasi dalam komentar asli saya.

— Kaushik Shankar