Apa kesulitan root untuk beralih dari grafik ke hypergraphs?

Ada banyak contoh dalam kombinatorik dan ilmu komputer di mana kita dapat menganalisis masalah grafik-teoretis tetapi untuk analog hypergraph masalah, alat kita kurang. Menurut Anda mengapa masalah sering menjadi jauh lebih sulit di atas hypergraph 3-seragam daripada lebih dari 2-seragam grafik? Apa kesulitannya?

Satu masalah adalah bahwa kita belum, sampai sekarang, memiliki pemahaman yang memuaskan tentang teori hypergraph spektral. Silahkan menjelaskan lebih lanjut tentang masalah ini. Tapi saya juga mencari alasan lain yang membuat objek hypergraphs lebih sulit.

Dalam pertanyaan ini saya mengerti "kesulitan" tidak mengacu pada "sulit untuk dihitung," tetapi untuk "sulit untuk dipelajari."

Masalah grafik lebih mudah (setidaknya bagi saya) untuk dipelajari karena beberapa konsep ternyata setara. Dengan kata lain, jika Anda ingin menggeneralisasi pertanyaan untuk grafik ke pertanyaan untuk hypergraph, Anda perlu memperhatikan generalisasi "benar" sehingga konsekuensi yang diinginkan dapat diperoleh.

Sebagai contoh, pertimbangkan sebuah pohon. Untuk grafik, grafik adalah pohon jika terhubung dan tidak mengandung siklus. Ini setara dengan terhubung dan memiliki tepi n-1 (di mana n adalah jumlah simpul), dan juga setara dengan tidak mengandung siklus dan memiliki tepi n-1. Namun, untuk hypergraph 3-seragam, misalkan hypergraph 3-seragam adalah pohon jika terhubung dan tidak mengandung siklus. Tapi, ini tidak setara dengan terhubung dan memiliki n-1 hyperedges, juga tidak mengandung siklus dan memiliki n-1 hyperedges.

Saya telah mendengar kesulitan utama untuk membuktikan keteraturan lemma untuk hypergraphs yang seragam adalah menghasilkan definisi yang benar tentang keteraturan dan konsep-konsep terkait.

Ketika Anda ingin mempertimbangkan "teori hypergraph spektral," Anda dapat mencoba melihat ke tensor, atau ke homologi jika Anda melihat hypergraph seragam k sebagai (k-1) kompleks kesederhanaan-dimensi, dari mana aljabar linear muncul secara alami. Saya tidak tahu mana generalisasi yang "benar" untuk tujuan Anda, atau mungkin keduanya tidak benar.

Saya pikir ini sebagian besar karena "kekuatan mistis twoness" Lawler (pengamatan bahwa banyak masalah parameter adalah dalam P untuk param = 2 dan NP-lengkap untuk param≥3). Grafik adalah hal yang menghubungkan 2-tupel simpul, dan hypergraph adalah sesuatu yang menghubungkan k-tupel simpul untuk k≥3.

Jadi, misalnya, 2-SAT dalam P, dan pada dasarnya adalah masalah grafik, sedangkan 3-SAT adalah masalah pada hypergraphs 3-seragam dan NP-lengkap.

Alasan lain adalah bahwa kita memiliki lebih banyak pengetahuan dalam hubungan biner daripada hubungan n-ary lainnya untuk n lebih besar dari 2.

Tentu saja kita menganggap hubungan biner antara objek, seperti adjacency, persimpangan nonempty, ekuivalensi, dll. Jadi kita dapat mendefinisikan grafik dalam hal hubungan biner, dan bahkan mendefinisikan grafik berdasarkan beberapa hubungan biner pada grafik lain. (Misalnya, grafik garis, pohon klik, dekomposisi pohon ...)

Tetapi untuk hubungan n-ary lainnya, kami tidak memiliki banyak pemahaman. Misalnya, perlu beberapa waktu untuk menghasilkan hubungan ternary yang menarik; (Oke, sebagian karena ketidaktahuan saya) properti lebih lemah dan alat jauh lebih rendah dalam studi hubungan ternary. (Bagaimana kita mendefinisikan hubungan terner simetris atau transitif ? Keduanya merupakan hubungan paling penting yang dapat dipelajari.)

Tetapi saya masih tidak tahu mengapa ini terjadi antara hubungan biner dan terner. Mungkin seperti kata turkistany pertanyaan ini sulit dan mungkin terkait dengan pemahaman masalah P / NP.

Saya pertama kali akan menjawab pertanyaan yang salah: "contoh masalah mana yang jauh lebih sulit dalam hypergraphs daripada di grafik". Saya sangat terkesan dengan perbedaan dalam berurusan dengan masalah pencocokan maksimum dalam grafik, dan sama dengan hypergraphs (satu set tepi berpisah berpasangan), yang sangat mudah dapat memodelkan pewarnaan, set independen max, set ...

Lalu saya perhatikan itu bukan pertanyaan Anda: "apa akar kesulitan di antara keduanya?".

Nah, untuk yang itu saya akan menjawab bahwa sampai sekarang saya belum melihat banyak poin umum antara grafik dan hypergraphs. Kecuali namanya sendiri. Dan fakta bahwa banyak orang berusaha untuk "memperluas" hasil dari yang pertama ke yang lain.

Saya berkesempatan untuk membalik halaman Berge's "Hypergraphs" dan "Set system" Bollobas: mereka mengandung banyak hasil yang enak, dan yang saya temukan paling menarik hanya sedikit yang bisa dikatakan tentang grafik. Misalnya teorema Baranyai (ada bukti bagus dalam buku Jukna).

Saya tidak tahu banyak dari mereka tetapi saya sedang memikirkan masalah hypergraph sekarang dan yang bisa saya katakan tentang itu adalah bahwa saya tidak merasakan grafik yang bersembunyi di sekitar. Mungkin kita menganggapnya "sulit" karena kita hanya mencoba mempelajarinya dengan alat yang salah. Saya tidak berharap masalah grafik yang sedang saya kerjakan segera menghilang dengan menggunakan teori bilangan (meskipun kadang-kadang terjadi).

Oh, dan yang lainnya. Mereka mungkin lebih sulit untuk dipelajari karena mereka secara kombinatorial .... lebih lanjut ?!

"Cobalah semuanya dan lihat kapan itu berhasil" kadang-kadang merupakan ide yang bagus untuk grafik, tetapi dengan hypergraph satu grafik dengan cepat direndahkan oleh angka. :-)