Ambiguitas dan Logika


17

Dalam teori automata (automata terbatas, automata pushdown, ...) dan dalam kompleksitas, ada gagasan "ambiguitas". Otomat bersifat ambigu jika ada kata w dengan setidaknya dua proses penerimaan yang berbeda. Sebuah mesin k ambigu jika untuk setiap kata w diterima oleh mesin paling tidak ada k berjalan berbeda untuk menerima w .

Gagasan ini juga didefinisikan atas tata bahasa bebas konteks: tata bahasa bersifat ambigu jika ada kata yang dapat diturunkan dalam dua cara yang berbeda.

Juga diketahui bahwa banyak bahasa memiliki karakterisasi logis yang bagus di atas model yang terbatas. (Jika bahasa L teratur, ada rumus urutan kedua monadik ϕ atas kata-kata sedemikian sehingga setiap kata w dari L adalah model ϕ , sama dengan NP jika setara dengan rumus urutan Kedua di mana setiap kuantifikasi urutan kedua eksistensial.)

Oleh karena itu, pertanyaan saya ada di tepi dua domain: apakah ada hasil, atau bahkan definisi kanonik, "ambiguitas" dari formula dari logika yang diberikan?

Saya bisa membayangkan beberapa definisi:

  • xϕ(x) tidak ambigu jika terdapat paling banyak satux sehinggaϕ(x) berlaku danϕ(x) tidak ambigu.
  • ϕ0ϕ1 akan ambigu jika ada model keduanyaϕ0 danϕ1 , atau jikaϕi ambigu.
  • Rumus SAT akan non-ambigu jika ada paling banyak satu tugas yang benar.

Oleh karena itu, saya bertanya-tanya apakah itu adalah gagasan terkenal, kalau tidak, mungkin menarik untuk mencoba melakukan penelitian tentang topik ini. Jika gagasan ini diketahui, adakah yang bisa memberi saya kata kunci yang dapat saya gunakan untuk mencari informasi tentang masalah ini (karena "ambiguitas logika" memberikan banyak hasil yang tidak terkait), atau buku / pdf / referensi artikel?

Jawaban:


11

Aturan dalam tata bahasa dan aturan inferensi dalam logika dapat dianggap sebagai aturan produksi yang memberi kita "barang baru" dari "barang yang diketahui". Seperti halnya ada banyak cara untuk menghasilkan (atau mengurai) sebuah kata sehubungan dengan tata bahasa, demikian juga ada banyak cara untuk menghasilkan (atau membuktikan) formula logis. Analogi ini dapat ditarik lebih jauh. Sebagai contoh, sistem logis tertentu menerima bentuk-bentuk bukti normal. Demikian juga, tata bahasa tertentu mengakui pohon parse kanonik.

Jadi saya katakan contoh Anda dari logika akan ke arah yang salah. Analogi yang benar adalah

"parse tree": "word" = "proof": "formula logis"

Bahkan, jenis tata bahasa yang cukup umum akan dapat mengekspresikan aturan logika inferensi tipikal, sehingga kata-kata yang benar secara tata bahasa akan menjadi formula yang dapat dibuktikan secara tepat. Dalam hal ini pohon parse akan menjadi buktinya.

Dalam arah yang berlawanan, jika kita mau memikirkan aturan inferensi yang sangat umum (yang tidak harus memiliki rasa logis tradisional), maka setiap tata bahasa akan diekspresikan sebagai sistem aksioma (terminal) dan aturan inferensi (produksi). Dan sekali lagi kita akan melihat bahwa buktinya sama dengan pohon parse.


Saya tidak benar-benar memikirkan bukti. Saya lebih terbiasa dengan teori model (hingga). Kami peduli mencari tahu set mana yang merupakan model formula, dan set mana yang tidak. (Terutama, untuk formula, apa kerumitan menemukan jika suatu set adalah model atau tidak, dan untuk formula yang dapat dibuktikan, maka tautologi, kompleksitasnya adalah O (1) karena setiap set adalah model). Tetapi terima kasih banyak atas jawaban Anda.
Arthur MILCHIOR

2
Nah, untuk menambahkan analogi: teori model adalah untuk logika apa semantik untuk bahasa. Teori model memberikan makna pada teori-teori logis, sedangkan semantik memberikan makna pada bahasa. Terkadang yang terbaik adalah tidak mencampur apel dan jeruk, bahkan jika Anda sudah terbiasa.
Andrej Bauer

7

Hanya dua komentar. Saya harap mereka membantu.

Definisi standar semantik logika dan kebenaran mengikuti presentasi Tarski, melanjutkan dengan induksi pada struktur formula. Kemungkinan lain adalah memberikan semantik berbasis game seperti yang disarankan oleh Hintikka. Kebenaran dan kepuasan semua didefinisikan dalam hal strategi dalam permainan. Untuk formula orde pertama, orang dapat membuktikan bahwa formula itu benar di bawah gagasan Tarski jika dan hanya jika ada strategi kemenangan di permainan Hintikka.

Menuju memformalkan pertanyaan Anda, orang dapat bertanya apakah permainan mengakui beberapa strategi. Ada juga pertanyaan menarik tentang apakah strategi harus ditentukan. Hintikka mengharuskan mereka untuk menjadi deterministik. Bukti bahwa aslinya Hintikka dan semantik Tarski adalah setara membutuhkan Aksioma Pilihan. Seseorang juga dapat memformalkan kebenaran dalam hal permainan dengan strategi non-deterministik dengan komplikasi yang lebih sedikit.

Contoh teori bahasa Anda mengingatkan determinisme, hubungan simulasi, dan penerimaan bahasa. Hubungan simulasi antara automata menyiratkan inklusi bahasa antara bahasa mereka meskipun sebaliknya tidak benar. Untuk automata deterministik, kedua gagasan itu bertepatan. Orang dapat bertanya apakah mungkin untuk memperluas hubungan simulasi dengan cara yang 'halus' untuk menangkap kesetaraan bahasa untuk automata non-deterministik. Kousha Etessami memiliki makalah yang sangat bagus yang menunjukkan bagaimana melakukan ini dengan menggunakan k-simulasi ( A Hierarchy of Polynomial-Time Computable Simulasi untuk Automata). Secara intuitif, 'k' mencerminkan tingkat non-determinisme yang dapat ditangkap oleh hubungan simulasi. Ketika 'k' sama dengan tingkat non-determinisme dalam otomat, simulasi dan kesetaraan bahasa bertepatan. Makalah itu juga memberikan karakterisasi logis dari k-simulasi dalam hal logika modal poladik dan fragmen variabel terikat dari logika orde pertama. Anda mendapatkan inklusi bahasa, determinisme, game, logika modal, dan logika urutan pertama, semuanya dalam satu paket bemper.


4

Ini dimulai sebagai komentar di bawah jawaban Andrej Bauer, tetapi terlalu besar.

Saya pikir definisi yang jelas tentang ambiguitas dari sudut pandang Teori Model Hingga adalah: ambiguous(ϕ)M1,M2|M1ϕM2ϕM1ψM2ψ

Dengan kata lain, ada model tata bahasa Anda yang dikodekan sebagai rumus yang dapat dibedakan dengan beberapa rumus ψ , mungkin sub-rumus ϕ .ϕψϕ

Anda dapat menghubungkan ini dengan respons Andrej tentang bukti melalui Kompleksitas Deskriptif. Kombinasi dari keberadaan pengkodean model tertentu ditambah penerimaannya oleh TM yang sesuai sebagai model formula yang diberikan ADALAH bukti bahwa aksioma dan inferensi (dan karenanya tata bahasa setara) dikodekan dalam formula itu konsisten.

Untuk membuat ini sepenuhnya kompatibel dengan jawaban Andrej, Anda harus mengatakan bahwa model itu "dihasilkan" oleh rumus yang bertindak sebagai filter pada ruang semua model yang mungkin terbatas (atau sesuatu seperti itu), dengan penyandian dan tindakan penyaringan pada model input sebagai "bukti". Bukti yang berbeda kemudian menyaksikan ambiguitas.

Ini mungkin bukan sentimen populer, tetapi saya cenderung menganggap teori model hingga dan teori pembuktian sebagai hal yang sama dilihat dari sudut yang berbeda. ;-)


ϕ

Ya, itu seharusnya "sebagai formula". Saya sudah memperbaikinya. Sedangkan untuk membedakan model hingga, situasi lainnya adalah bahwa hanya ada satu model terbatas yang diterima untuk bahasa Anda (mungkin sampai beberapa gagasan isomorfisme). Itu adalah kebalikan dari ambiguitas.
Marc Hamann

Saya kira itu akan menjadi "ambiguitas". Aku hanya tidak memikirkannya seperti ini. Sebagian besar karena menyangkut bahasa, ini tidak akan benar-benar menarik. Tetapi dari sudut pandang logis jika masuk
akal

Saya tidak yakin bagian bahasanya pasti membosankan. Saya punya lebih banyak ide tentang ini, tetapi saya pikir itu akan membawa kita melampaui ruang lingkup forum ini. ;-)
Marc Hamann

0

Tidak yakin tentang pertanyaan yang diterapkan ke CS, tetapi coba cari istilah Vagueness and logic. Dalam filsafat logika, ambiguitas biasanya dibuat berbeda dari ketidakjelasan (lihat di sini misalnya), dan saya pikir apa yang Anda cari adalah ketidakjelasan (karena ketidakjelasan didefinisikan sebagai istilah di mana ada kasus batas). Buku utama dalam bidang ini adalah Ketidakjelasan Timothy Williamson (tetapi juga lihat daftar pustaka di situs Stanford di atas).


1
Terima kasih atas jawaban Anda. Tetapi seperti yang Anda katakan, saya tidak benar-benar melihat hubungan dengan ilmu komputer. Terutama, alam semesta adalah atau bukan model formula, tidak ada benar-benar ketidakjelasan di sini. Sebaliknya, lebih dari automata, ambiguitas adalah sesuatu yang terdefinisi dengan baik, dan ada algoritma yang dikenal untuk memutuskan apakah suatu otomat adalah ambigu, k-ambigu atau tidak ambigu. (hanya untuk beberapa jenis otomat)
Arthur MILCHIOR

Anda benar, saya mungkin seharusnya tidak melontarkan pertanyaan ini dan tetap bersembunyi. Saya hanya seorang noob di CS (akan menyelesaikan sarjana saya dalam logika / filsafat sains dan matematika murni). Terima kasih atas informasinya.
DanielC

0

Saya (juga) setuju dengan Anrej.

Saya pikir kompleksitas deskriptif adalah karakterisasi tanpa komputasi (yang membuatnya menarik dengan caranya sendiri) dan oleh karena itu contoh ambiguitas komputasi dari teori bahasa formal (automata / tata bahasa / ...) yang Anda berikan terlihat berada dalam domain yang sangat berbeda . Dalam kompleksitas bahasa deskriptif sesuai dengan kelas kompleksitas dan kueri (dalam bahasa) sesuai dengan masalah komputasi (bukan algoritma). Tidak ada cara yang dimaksudkan untuk memeriksa / menghitung kueri AFAIK, jadi jika Anda tidak mencari ambiguitas komputasi IMHO contoh-contoh tersebut menyesatkan.


Kaveh, saya tidak yakin bahwa saya setuju bahwa karakterisasi kurang komputasi dari kompleksitas deskriptif adalah 100% benar. Rincian komputasi sangat penting untuk memahami bagaimana logika tertentu menangkap kelas kompleksitas. Keuntungannya adalah, setelah Anda melakukan pembuktian dan memahami cara kerjanya, Anda dapat mengesampingkan perhitungan, dan fokus pada detail logis menggunakan metode logis standar.
Marc Hamann

Komentar yang sama à Mark. Kompleksitas deskriptif juga dikenal sebagai teori basis data, kosakata mengenai struktur suatu basis data, dan model-model teori yang menyangkut isi basis data. Oleh karena itu senang bahwa kita dapat menghitung dan mencari tahu apakah suatu basis data menghormati suatu formula.
Arthur MILCHIOR

AC0FO

1
@ Kaveh, saya membuat poin yang agak halus, tetapi yang menurut saya penting, karena tampaknya sering disalahpahami (misalnya dengan upaya gagal P = NP?). Ada adalah sebuah mendasari, cukup algoritma brute-force yang mendasari korespondensi bahasa logis dan kelas kompleksitas. Bekerja dengan logika memungkinkan Anda untuk tidak harus memikirkan perincian algoritma ini setiap detik, tetapi keindahan dan kejeniusan bukti oleh Fagin, Immerman, Vardi, dan lainnya terletak tepat dalam menggambarkan algoritma ini. Orang-orang yang kehilangan pandangan mereka sepenuhnya umumnya berakhir dalam kesulitan.
Marc Hamann

1
@ Kaveh, saya pikir kami saling memahami, dan berbagi rasa hormat kami untuk bidang ini. "Brute-force" tidak dimaksudkan sebagai sedikit pada algoritma yang mendasarinya, hanya menjelaskan bahwa kita berbicara tentang sesuatu yang sedikit lebih abstrak daripada apa yang seseorang pikirkan, katakanlah, pekerjaan optimasi algoritmik mungkin anggap sebagai suatu algoritma.
Marc Hamann
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.