Apa kompleksitas Nurikabe (mungkin ringkas)?

Nurikabe adalah teka-teki isian kisi-kisi berbasis kendala, mirip dengan Minesweeper / Nonograms; angka ditempatkan pada kisi yang harus diisi dengan nilai on / off untuk setiap sel, dengan masing-masing angka menunjukkan wilayah terhubung 'on' sel dengan ukuran itu, dan beberapa kendala kecil pada wilayah sel 'off' (itu harus terhubung dan tidak dapat berisi wilayah 2x2 yang berdekatan). Halaman Wikipedia memiliki aturan yang lebih eksplisit dan teka-teki sampel.

Secara umum, teka-teki semacam ini cenderung NP-lengkap, dan Nurikabe tidak terkecuali; mereka jatuh ke NP karena solusi itu sendiri berfungsi sebagai saksi (secara polinomially-diverifikasi) untuk masalah tersebut. Tapi tidak seperti kebanyakan teka-teki yang sama, Nurikabe contoh mungkin ringkas: Sudoku pada jaringan membutuhkan Givens menjadi dipecahkan (jika kurang dari kodrat yang ditawarkan, maka tidak ada cara untuk membedakan antara simbol-simbol yang hilang ), Nonogram jelas membutuhkan setidaknya satu yang diberikan untuk setiap baris atau kolom, dan Minesweeper harus memiliki givens setidaknya$n\times n$n - 1 $\Theta(n)$$n-1$$1\over16$sel atau akan ada sel tidak di sebelah yang diberikan (dan karena itu statusnya tidak dapat ditentukan). Tetapi sementara givens dari teka-teki Nurikabe harus dijumlahkan ke , dimungkinkan untuk memiliki masing-masing ukuran itu, sehingga bit mungkin cukup untuk menentukan teka-teki Nurikabe dengan ukuran - atau membalik, bit mungkin cukup untuk menentukan contoh Nurikabe dengan ukuran eksponensial dalam , yang berarti bahwa satu-satunya jaminan adalah bahwa masalahnya terletak pada NEXP.O ( 1 ) Θ ( log ( n ) ) n k $\Theta(n^2)$$\mathrm{O}(1)$$\Theta(\log(n))$$n$$k$$k$

Sayangnya, bukti kekerasan Nurikabe yang saya temukan semua menggunakan konstruksi dengan memberikan ukuran konstan, jadi instans mereka polinomial dalam ukuran grid daripada logaritmik, dan saya tidak bisa mengesampingkan bahwa semua dapat dipecahkan Teka-teki Nurikabe 'ringkas' memiliki struktur tambahan sehingga solusinya dapat dideskripsikan dan diverifikasi sama ringkasnya; misalnya, satu contoh yang saya tahu tentang teka-teki dengan 2 givens ukuran mengarah ke daerah sel dan tidak aktif yang masing-masing merupakan gabungan dariΘ ( n 2 ) O ( 1 $\Theta(n^2)$$\Theta(n^2)$$\mathrm{O}(1)$persegi panjang, dan memiliki deskripsi ringkas mereka sendiri. Adakah yang tahu tentang penelitian tambahan yang telah dilakukan dalam teka-teki ini di luar hasil kelengkapan NP dasar, dan khususnya setiap hasil kompleksitas lebih lanjut untuk kasus-kasus yang mungkin singkat?

(catatan: ini awalnya ditanyakan di math.SE , tetapi belum ada jawaban di sana dan ini tampaknya tingkat penelitian yang tepat untuk situs ini)

Anda sepertinya benar-benar bertanya: apakah Nurikabe menggunakan NP?

Nurikabe adalah NP-hard, karena seseorang dapat membangun gadget ukuran polinomial yang dapat digunakan untuk mengurangi masalah NP-lengkap untuk masalah keputusan Nurikabe. Inilah yang dilakukan Holzer, Klein, dan Kutrib, dan juga McPhail dan Perbaiki dalam poster mereka (keduanya dirujuk dari artikel Wikipedia).

Kedua kelompok penulis berasumsi bahwa masalahnya adalah sepele dalam NP, dan mengesampingkan pertanyaan tentang keanggotaan. Ketidaknyamanan Anda tentang contoh ringkas tampaknya tepat - saya tidak percaya masalahnya ada di NP. Pertimbangkan cara berikut untuk meresmikan masalah keputusan:

Input BINARY NURIKABE : bilangan bulat m dan n dalam biner , mewakili papan Nurikabe, dan daftar tiga kali lipat, masing-masing menunjukkan posisi di papan tulis dan bilangan bulat positif yang tertulis di posisi itu.
Pertanyaan: dapatkah posisi papan yang tersisa diwarnai dengan dua warna, dengan menghormati batasan Nurikabe?

$m$$n$$mn$

$(m-2)(n-2)$$m \times n$$mn-1$$\Theta(\log\, m + \log\, n)$

Pertanyaan Anda kemudian menjadi: apakah ada sertifikat berukuran polinomial untuk semua instance Nurikabe biner, yang dapat diperiksa dalam waktu polinomial?

Tidak jelas bagi saya bahwa sertifikat semacam itu harus ada. Juga tidak jelas bagaimana orang akan membuktikan bahwa sertifikat yang ringkas dan dapat diverifikasi dengan cepat tidak ada.

Namun, pembatasan untuk solusi unik berarti bahwa masalah tersebut sebenarnya adalah AS -keras, sangat ko-NP-keras, dan karenanya tidak mungkin ada di NP. Intinya adalah bahwa jika seseorang menganggap "memiliki solusi unik" sebagai kendala Nurikabe (berlawanan dengan fitur yang diinginkan dari instance yang disajikan kepada manusia), maka tidak cukup untuk menunjukkan bahwa ada solusi, tetapi kita juga harus menunjukkan bahwa tidak ada solusi lain yang mungkin. Persyaratan ini saja sudah cukup untuk memastikan masalahnya mungkin tidak di NP. Ini benar bahkan untuk versi unary masalah.

Singkatnya: jika seseorang melonggarkan persyaratan solusi yang unik, dan menentukan ukuran dewan di unary, maka masalah keputusan ada di NP; dengan solusi non-unik dan ukuran papan biner, tidak jelas apakah masalah keputusan ada di NP; dan dengan solusi unik, masalah keputusan sangat sulit bagi AS dan karenanya tidak mungkin dalam NP, untuk penyandian ukuran papan.