Hasil dalam CS Teoritis independen dari ZFC


37

Saya akan mengajukan pertanyaan yang cukup samar, karena batas antara ilmu komputer teoretis dan matematika tidak selalu mudah dibedakan.

PERTANYAAN: Apakah Anda mengetahui adanya hasil menarik dalam CS yang tidak tergantung pada ZFC (yaitu teori himpunan standar), atau yang awalnya terbukti dalam ZFC (+ beberapa aksioma lainnya) dan baru kemudian terbukti di ZFC alorne?

Saya bertanya karena saya hampir menyelesaikan tesis PhD saya, dan hasil utama saya (penentuan kelas permainan yang digunakan untuk memberikan "permainan semantik" ke modal probabilistik calculus) saat ini terbukti dalam ZFC diperluas dengan Aksioma lain (yaitu negasi dari hipotesis Continuum dan, Aksioma Martin ).μ¬CHM.SEBUAH

Jadi pengaturannya jelas Ilmu Komputer (modal -calculus adalah logika temporal, dan saya memperluasnya untuk bekerja dengan sistem probabilistik).μ

Saya ingin mengutip dalam tesis saya contoh-contoh lain (jika Anda mengetahui adanya) dari jenis ini.

Terima kasih sebelumnya,

selamat tinggal

Matteo



9
Saya akan menjawab bahwa Matteo Mio dan Alex Simpson menggunakan aksioma Martin untuk membuktikan hasil yang sangat menarik ...
Andrej Bauer

7
Ini mungkin contoh terbaik yang pernah saya lihat dari pertanyaan yang jawaban terbaiknya terkandung dalam pertanyaan itu sendiri! Saya tidak menyadari hasil yang sangat menarik.
Timothy Chow

Jawaban:


19

Meskipun saya tidak mengetahui adanya hasil seperti itu, selain hasil Anda sendiri, saya pikir Anda dapat memperluas cakupan dan bertanya: hasil apa dalam TCS yang telah terbukti menggunakan (jenis) aksioma non-standar. Dengan non-standar di sini saya maksudkan sesuatu selain logika klasik dengan ZF (atau ZFC).

Sebuah contoh indah dari jenis pekerjaan yang saya pikirkan adalah hasil Alex Simpson pada properti bahasa pemrograman menggunakan teori domain sintetik. Dia menggunakan teori himpunan intuitionistic dengan aksioma yang bertentangan dengan logika klasik.

Juga, Alex dan saya menggunakan aksioma intuitionistic dengan prinsip kontinuitas anti-klasik untuk menunjukkan hasil tentang komputabilitas Banach-Mazur.

Namun, tidak satu pun dari contoh yang disebutkan memiliki status "terbuka", seperti bukti Anda, karena kami tahu bahwa aksioma non-standar yang kami gunakan dapat dipahami hanya sebagai bekerja di dalam model matematika intuitionistic, di mana model dapat ditunjukkan ada di ZFC. Jadi pengaturan non-standar benar-benar cara menyelesaikan sesuatu dengan lebih elegan, dan pada prinsipnya mereka dapat dilakukan dalam ZFC langsung (walaupun saya takut memikirkan bagaimana tepatnya itu akan berjalan).


Terima kasih! Saya akan menanyakan lebih detail tentang ini ketika saya akan menulis pengantar.
IamMeeoh

13

Itu tergantung pada definisi Anda tentang "Ilmu Komputer". Ambil contoh di bawah ini - apakah itu masuk hitungan?

Sebuah coding dari bilangan bulat adalah kode biner unik decodable dari . Jika panjang codeword tidak berkurang, kami menyebutnya kode monoton . Kode C 1 adalah lebih baik daripada kode C 2 jika | C 1 ( n ) | - | C 2 ( n ) | - . Dengan kata lain, untuk setiap L , dari beberapa titik pada codeword dari C 1 setidaknya L bit lebih pendek.NC1C2|C1(n)|-|C2(n)|-L.C1L.

Satu set kode disebut cofinal jika untuk setiap kode C ada kode D S yang lebih baik daripada C . Ini tertata dengan baik jika tertata dengan baik sehubungan dengan "lebih baik". Sebuah skala adalah satu set cofinal tertata dengan baik kode.SCDSC

Berikut adalah dua properti yang tidak tergantung pada ZFC:

  1. Ada skala kode.
  2. Ada skala kode monoton (yaitu seperangkat kode monoton yang tertata dengan baik yang merupakan cofinal dalam rangkaian semua kode monoton).

Halo Yuval, terima kasih atas jawabannya. Saya tidak yakin contoh Anda sesuai dengan definisi saya "Ilmu Komputer". Tentunya berbicara tentang "kode" tidak cukup untuk mengklasifikasikannya sebagai CS. Apa yang membuat makalah "makalah CS" adalah sebagai berikut: Apakah makalah itu muncul di beberapa konferensi / jurnal CS, atau apakah itu digunakan untuk membuktikan hasil dalam konferensi / jurnal CS? oleh makalah CS saya cukup fleksibel tetapi topik mungkin "teori informasi, kompleksitas, program / sistem logika, teori rekursi" dll. Pokoknya Anda dapat mengutip sumber dari contoh dan / atau makalah yang memanfaatkan "ada skala kode "? Terima kasih! Sampai jumpa
IamMeeoh

1
Makalah tentang kode bilangan bulat muncul di jurnal teknik elektro, seperti transaksi IEEE pada teori informasi. Itu hits salah satu kata kunci Anda.
Yuval Filmus

1
Saya tidak berpikir ada kertas yang menggunakan hasil ini. Selain itu, saya sangat percaya bahwa hasil yang tidak bergantung pada ZFC tidak ada gunanya dalam kompleksitas, jadi dalam arti pertanyaan Anda adalah tentang memperluas batasan apa yang dianggap sebagai ilmu komputer.
Yuval Filmus

1
Halo Yuval, pertama-tama izinkan saya mengucapkan terima kasih lagi atas jawabannya. Namun saya tidak setuju dengan posisi kuat Anda. Misalnya teorema Robertson-Seymour (yang tampaknya membutuhkan pilihan) memiliki konsekuensi penting dalam kompleksitas. Jadi jelas bahwa Pilihan berguna (mungkin agak mengejutkan) dalam teori Kompleksitas. Sekarang bekerja dengan ekstensi ZFC yang konsisten jelas menyederhanakan tugas pembuktian, kompleksitas mengatakan, hasil, bahkan jika hasil ini mungkin dapat dibuktikan di ZFC tetapi belum ada yang tahu caranya.
IamMeeoh

1
Terlebih lagi saya tidak melihat mengapa tidak ada hasil konkret dalam kompleksitas independen ZFC, dengan cara yang sama teorema Robertson-Seymour (mungkin) independen dari ZF.
IamMeeoh

9

Sebuah kerucut derajat Turing adalah seperangkat derajat dengan beberapa dasar b D sehingga untuk semua derajat c , b T c jika dan hanya jika c D .DbDcbTccD

Pernyataan penentuan derajat Turing :

Setiap set derajat Turing mengandung kerucut atau terpisah dari beberapa kerucut

adalah konsekuensi dari aksioma determinasi (AD), yang independen terhadap ZF dan tidak sesuai dengan ZFC. Pernyataan yang lebih lemah

Setiap rangkaian Borel real yang ditutup di bawah Turing equivalence baik mengandung kerucut atau terlepas dari kerucut

adalah konsekuensi dari teorema Martin tentang determinasi Borel, yang dapat dibuktikan dalam ZFC. Kedua pernyataan ini dipelajari sebelum hasil Martin pada determinasi Borel terbukti, pada saat itu hanya diketahui bahwa keduanya dapat dibuktikan dalam ZF + AD.

SbcSbTcSS



0

Banyak matematika konstruktif. Lihat karya Per Martin-Löf tentang teori himpunan konstruktif, yang digunakan sebagai dasar untuk bahasa pemrograman yang diketik secara dependen.


6
IIRC, teori tipe Martin-Lof memiliki kekuatan konsistensi yang sama dengan teori himpunan Kripke-Platek, yang jauh lebih lemah dari ZFC. Juga, MLTT tidak memiliki prinsip anti-klasik yang eksplisit, seperti aksioma kontinuitas yang disebutkan Andrej.
Neel Krishnaswami

@Neel Saya tidak pernah mengatakan apa pun tentang konsistensi atau kekuatan MLTT. Namun, saya menganggap beberapa hasil dalam matematika konstruktif menjadi relevan dengan pertanyaan, meminta "hasil menarik dalam CS yang ... terlepas dari ZFC".
Rob

5
Saya menganggap "independen" di sini dimaksudkan dalam pengertian formal.
Mark Reitblatt
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.