Untuk k manakah PLANAR NAE k-SAT dalam P?

Masalah Tidak Semua Sama dengan -SAT (NAE k -SAT), diberikan satu set C klausa atas seperangkat X variabel boolean sehingga setiap klausa berisi paling banyak k literal, menanyakan apakah ada penugasan kebenaran dari variabel sedemikian rupa sehingga setiap klausa berisi setidaknya satu true dan literal false.$k$$k$$C$$X$$k$

Masalah PLANAR NAE -SAT adalah pembatasan NAE k -SAT untuk kejadian-kejadian di mana kejadian grafik bipartit dari C dan X (yaitu grafik bagian C dan X dengan tepi antara x ∈ X dan c ∈ C jika dan hanya jika x atau ¯ x milik c ), adalah planar.$k$$k$$C$$X$$C$$X$$x\in X$$c\in C$$x$$\overline{x}$$c$

Diketahui bahwa NAE 3-SAT adalah NP-lengkap (Garey dan Johnson, Komputer dan Intractability; Panduan untuk Teori NP-Completeness), tetapi PLANAR NAE 3-SAT ada di P (lihat Planar NAE3SAT di P, B Moret, ACM SIGACT News, Volume 19 Edisi 2, Musim Panas 1988 - sayangnya saya tidak memiliki akses ke makalah ini).

Apakah PLANAR NAE -SAT dalam P untuk beberapa k ≥ 4 ? Apakah ada nilai k yang telah ditunjukkan sebagai NP-complete?$k$$k\geq 4$$k$

PLANAR NAE -SAT dalam P untuk semua nilai k .$k$$k$

Alasannya adalah bahwa kita dapat mengurangi PLANAR NAE -SAT menjadi PLANAR NAE 3 -SAT. Biarkan ϕ menjadi turunan dari PLANAR NAE k -SAT, dan anggap ϕ berisi klausa C dengan literal ℓ 1 , ℓ 2 , … , ℓ k . Perkenalkan variabel baru v C , dan ganti C dengan dua klausa NAE C 1 dan C 2 . C 1 berisi 3 literal ℓ 1 , ℓ $k$$3$$\phi$$k$$\phi$$C$$\ell_1, \ell_2, \dots, \ell_k$$v_C$$C$$C_1$$C_2$$C_1$$3$$\ell_1$$\ell_2$, dan , sedangkan C 2 berisi k - 1 literal ˉ v C , ℓ 3 , ℓ 4 , … , ℓ k . Sangat mudah untuk melihat bahwa C adalah satisfiable IFF C 1 ∧ C 2 dan bahwa transformasi menjaga planarity. Sekarang, kita dapat berulang kali menerapkan prosedur ini pada klausa untuk akhirnya mendapatkan instance ϕ ′ dari NAE 3 -SAT seperti yang diinginkan.$v_C$$C_2$$k-1$$\bar{v}_C, \ell_3, \ell_4, \dots, \ell_k$$C$$C_1 \wedge C_2$$\phi'$$3$