Adanya pemelihara jarak planar?

14

Misalkan G adalah grafik nir simpul n-simpul, dan misalkan T adalah subset simpul dari V (G) yang disebut terminal . Pemelihara jarak (G, T) adalah grafik H yang memuaskan properti

d_{H} (kamu, v) = d_{G} (kamu, v)

$d_H(u,v) = d_G(u,v)$

untuk semua node u, v dalam T. (Perhatikan bahwa H TIDAK harus merupakan subgraph dari G.)

Sebagai contoh, misalkan G menjadi grafik berikut (a) dan T menjadi simpul pada permukaan eksternal. Kemudian grafik (b) adalah pemelihara jarak (G, T).

masukkan deskripsi gambar di sini

Pemelihara jarak dengan berbagai parameter diketahui ada. Saya sangat tertarik dengan properti berikut:

G adalah planar dan tidak berbobot (yaitu, semua tepi G memiliki bobot satu),
T memiliki ukuran $O(n^{0.5})$ , dan
H memiliki ukuran (jumlah node dan tepi) . (Alangkah baiknya jika kita memiliki .) $o(n)$ $O(\frac{n}{\log\log n})$

Apakah pemelihara jarak seperti itu ada?

Jika seseorang tidak dapat memenuhi properti di atas, segala jenis relaksasi disambut.

Referensi:

Preservers Sumber-bijaksana dan Pasangan-bijaksana Jarak , Don Coppersmith dan Michael Elkin, SIDMA, 2006.
Pengawet Jarak Jarang dan Kunci Tambahan , Béla Bollobás, Don Coppersmith, dan Michael Elkin, SIDMA, 2005.
Kunci pas dan emulator dengan kesalahan jarak sublinear , Mikkel Thorup dan Uri Zwick, SODA, 2006.
Batas Bawah untuk Spanduk Aditif, Emulator, dan Lainnya , David P. Woodruff, FOCS, 2006.

Pemelihara jarak juga dikenal sebagai emulator ; banyak pekerjaan terkait dapat ditemukan di internet dengan mencari istilah spanner , yang mengharuskan H untuk menjadi subgraph dari G. Tetapi dalam aplikasi saya, kami dapat menggunakan grafik lain juga, selama H mempertahankan jarak antara T di G.

— Hsien-Chih Chang 張顯之
sumber

−1 untuk menggunakan JPEG untuk gambar seperti ini! (hanya bercanda, tetapi PNG biasanya jauh lebih baik di kedua kualitas gambar dan ukuran file untuk angka sederhana)

— Tsuyoshi Ito

@ Tsuyoshi: Terima kasih atas tips yang bermanfaat! Saya tidak tahu itu :)

— Hsien-Chih Chang 張顯之

4

Bertahun-tahun kemudian, sepertinya OP akhirnya menjawab pertanyaannya sendiri: Emulator Jarak Dekat-Optimal untuk Grafik Planar oleh Hsien-Chih Chang, Paweł Gawrychowski, Shay Mozes, dan Oren Weimann baru saja diposting di arxiv.

$\widetilde{O}(\min\{t^2, \sqrt{tn}\})$ $|T| =: t$ $\widetilde{O}(n^{3/4})$ $\widetilde{O}(n)$ ; Saya akan sangat curiga bahwa faktor log dalam ukuran dapat dihapus jika kita hanya peduli tentang keberadaan dan bukan waktu perhitungan pemelihara, tetapi saya belum memverifikasi ini dengan seksama.

(Dengan catatan yang kurang formal, saya menemukan hasil ini sangat luar biasa. Selamat!)

— GMB
sumber

1

Terima kasih @GMB untuk mempostingnya sebagai jawaban. Tangkapan kecil di sini adalah bahwa pemelihara diarahkan ; itu adalah pertanyaan terbuka apakah emulator yang diarahkan (tetapi masih belum tentu planar) tidak ada ukuran sublinear. Tetapi cukup memuaskan untuk akhirnya mengetahui jawaban atas pertanyaan lama setelah bertahun-tahun ini :)

— Hsien-Chih Chang 張顯之

2

Anda mungkin ingin melihat spanner subset planar Klein, yang menjaga jarak hingga faktor 1 + epsilon.

Subset Spanner untuk Grafik Planar, dengan Aplikasi untuk Subset TSP http://doi.acm.org/10.1145/1132516.1132620

— Christian Sommer
sumber

Terima kasih, saya sudah membaca koran, dan ada celah antara konstruksinya dan persyaratan kami. Tampaknya spanner mana pun tidak akan berfungsi selama itu merupakan subgraf dari grafik asli; seseorang dapat mengambil grafik kotak sebagai contoh tandingan. Tetapi ada emulator untuk grafik grid.

— Hsien-Chih Chang 張顯之

ide konstruksi lain, mungkin berhasil? 1) menerapkan pemisah jalur terpendek (Thorup, FOCS'01) secara rekursif 2) eps-cover untuk setiap titik [dua langkah pertama membangun label jarak] ada terminal sqrt {n}, masing-masing dengan label ukuran O (log n / eps), menghubungkan ke jumlah total paling banyak sqrt {n} * log n path dan 1 / eps kali lebih banyak portal 3) pintas portal di jalur dengan tepi tertimbang dan pintas koneksi ke portal dengan tepi grafik yang dihasilkan harus kira-kira sqrt {n} * log n simpul dan tepi (hingga eps) dan mewakili 1 + eps jalur terpendek untuk jarak yang tepat Saya tidak tahu ...

— Christian Sommer