Apa gagasan paling penting dari sparsity untuk desain algoritma grafik yang efisien?

Ada beberapa gagasan yang saling bersaing tentang "grafik jarang". Misalnya, grafik permukaan-embeddable dapat dianggap jarang. Atau grafik dengan kepadatan tepi terbatas. Atau grafik dengan ketebalan tinggi. Grafik dengan ekspansi besar. Grafik dengan treewidth terikat. (Bahkan di dalam subbidang grafik acak, itu sedikit ambigu untuk apa yang bisa disebut jarang.) Dan lain-lain.

Gagasan "grafik jarang" apa yang memiliki dampak paling besar pada desain algoritma grafik yang efisien, dan mengapa? Demikian pula, apa pengertian "grafik padat" ...? (NB: Karpinski telah banyak bekerja pada hasil perkiraan untuk satu model standar grafik padat.)

Saya baru saja melihat ceramah oleh J. Nesetril pada program-nya (bersama-sama dengan P. Ossona de Mendez) untuk menangkap ukuran sparsity dalam grafik dalam kerangka kerja (asimptotik) yang disatukan. Pertanyaan saya - ya, mungkin cukup subyektif dan saya berharap kamp yang berbeda - termotivasi oleh keinginan untuk menangkap perspektif multi-segi pada penggunaan sparsity dalam algoritma (dan pasang setiap celah dalam pemahaman saya sendiri tentang masalah ini).

Saya pikir bahwa dengan standar apa pun yang wajar, grafik grid tiga dimensi n × n × n harus dianggap jarang, dan yang mengesampingkan sebagian besar definisi kandidat yang melibatkan embedding permukaan atau anak di bawah umur. (Namun, subewear treewidth masih dimungkinkan.)

Ukuran sparsity favorit saya saat ini adalah degenerasi . Degenerasi grafik adalah minimum, di atas semua urutan linear dari simpul grafik, dari outdegree maksimum dalam orientasi asiklik langsung dari grafik yang dibentuk dengan mengorientasikan setiap tepi dari sebelumnya ke simpul berikutnya dalam pemesanan. Secara ekivalen, ini adalah maksimum, di atas semua subgraph, dari tingkat minimum dalam subgraph. Jadi misalnya grafik planar memiliki degenerasi lima karena setiap subgraf grafik planar memiliki paling banyak lima derajat. Degenerasi mudah dihitung dalam waktu linier, dan urutan linier yang berasal dari definisi berguna dalam algoritma .

Degenerasi berada dalam faktor konstan dari beberapa ukuran standar lainnya termasuk arboricity, ketebalan, dan tingkat rata-rata maksimum dari setiap subgraph, tetapi itu saya pikir lebih sulit untuk digunakan.

Tampaknya ada banyak gagasan "baik" tentang sparsity, tetapi ada sesuatu yang hierarki bagi gagasan struktural tentang sparsity yang memiliki cita rasa model-teoretis. Saya pikir ini memiliki dampak kuat pada algoritma grafik yang efisien.

$k$$K_{k+2}$

Catatan kursus Anuj Dawar dari November 2010 juga membahas treewidth yang dibatasi secara lokal, yang tidak dapat dibandingkan dengan anak di bawah umur yang dikecualikan. Derajat terikat jelas mendefinisikan grafik jarang, dan grafik tersebut telah membatasi treewidth lokal, tetapi tidak dapat ditentukan oleh seperangkat anak di bawah umur yang dikecualikan.

Dampak derajat terikat jelas: sering kali merupakan salah satu batasan pertama yang terbukti membuat masalah sulit ditelusuri, misalnya algoritma Luks untuk Grafik Isomorfisme pada grafik derajat terbatas. Dampak tidak termasuk anak di bawah umur juga jelas, setidaknya dengan kedok treewidth terikat (seperti yang ditunjukkan Suresh).

Gagasan lokal mengecualikan minor generalisasi baik treewidth lokal terikat dan dikecualikan anak di bawah umur, sehingga membentuk kelas "paling umum" dalam hierarki. Namun, belum jelas bagaimana memanfaatkan properti ini dalam algoritma praktis. Bahkan kasus "traktable" dengan mengecualikan anak di bawah umur belum tentu memiliki algoritma praktis yang baik; konstanta besar berlimpah dalam algoritma model-teoretis. Saya berharap beberapa dari kelas-kelas ini akan berubah menjadi algoritma yang praktis efisien dalam jangka panjang.

Lihat juga jawaban saya apa yang mudah untuk grafik dengan pengecualian kecil? untuk komentar terkait lebih lanjut.

Saya tidak dapat memikirkan properti grafik yang memiliki dampak besar pada desain algoritma efisien seperti treewidth terikat, dan bidimensionality secara umum.

Orang dapat menganggap grafik sebagai matriks adjacency - ada beberapa definisi untuk sparsity matriks (% dari nol entri, misalnya) yang dapat menerjemahkan kembali ke grafik itu sendiri. Selain% dari entri nol, bandwidth matriks di bawah penataan ulang bisa menjadi proksi yang baik untuk sparsity grafik (sepertinya bandwidth terkait dengan degenerasi).