Pengurangan dimensi dengan slack?

Lemma Johnson-Lindenstrauss mengatakan secara kasar bahwa untuk setiap koleksi $S$ dari $n$ poin dalam $\mathbb{R}^d$ , terdapat peta $f:\mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}^k$ mana $k = O(\log n/\epsilon^2)$ sedemikian rupa sehingga untuk semua $x, y \in S$ :

$$(1-\epsilon)||f(x)-f(y)||_2 \leq ||x-y||_2 \leq (1+\epsilon)||f(x)-f(y)||_2$$ Diketahui bahwa pernyataan serupa tidak mungkin untukmetrik$\ell_1$ , tetapi apakah diketahui jika ada cara untuk mengatasi batas bawah seperti itu dengan menawarkan jaminan yang lebih lemah? Misalnya, dapatkah ada versi lemma di atas untuk$\ell_1$metrik yang hanya menjanjikan untuk menjaga jarak sebagian besar titik, tetapi mungkin membuat beberapa terdistorsi secara sewenang-wenang? Satu yang tidak membuat jaminan multiplikasi untuk poin yang "terlalu dekat"?

Referensi standar untuk hasil positif tersebut adalah makalah Piotr Indyk tentang distribusi stabil:

http://people.csail.mit.edu/indyk/st-fin.ps

Dia menunjukkan teknik reduksi dimensi untuk $\ell_1$ mana jarak antara setiap pasangan poin tidak meningkat (lebih dari faktor $1+\epsilon$ ) dengan probabilitas konstan dan jarak tidak berkurang (lebih dari faktor $1-\epsilon$ ) dengan probabilitas tinggi. Dimensi embedding akan menjadi eksponensial dalam $1/\epsilon$ .

Mungkin ada tindak lanjut yang tidak saya sadari.

$\ell_1$$\ell_p$

$\ell_1$

$\ell_1$$O(n/\epsilon)$$O(1/(\delta\epsilon))$$1-\delta$

$\ell_1$$S$$c$$\mathbb{R}^d$$k$$c$$c$$V$$\ell_1^d$$L_1$$f:\ell_1^d \rightarrow \ell_1^k$$k = O(\epsilon^{-2}c\log c)$$x, y \in V$$(1-\epsilon)\|f(x) - f(y)\|_1 \leq \|x - y\|_1 \leq (1+\epsilon)\|f(x) - f(y)\|_1$$f$$S$

Baru-baru ini, Woodruff dan Sohler telah membuktikan hasil yang analog dengan Talagrand, tetapi dengan fitur tambahan bahwa , seperti di JLT, adalah pemetaan linear yang diambil dari distribusi independen : Anda perlu memilih matriks mana setiap entri adalah variabel acak iid Cauchy. Ini adalah semangat proyeksi stabil Indyk: Cauchy adalah 1-stable. $f$$S$$k \times d$