Memecahkan Labirin Angka-Pelompat

Anak saya yang berusia 8 tahun bosan membuat labirin konvensional, dan telah membuat varian yang terlihat seperti ini:

Jumlah Sampel Hopper

Idenya adalah mulai dari x dan mencapai o melalui aturan normal. Selain itu, Anda dapat "hop" dari setiap bilangan bulat untuk setiap bilangan bulat lainnya , tetapi Anda harus membayar dolar untuk hak istimewa. Tujuannya adalah untuk memecahkan labirin dengan biaya paling murah. Pada contoh di atas, kita bisa beralih dari x ke o melalui x-14-18-27-28-o dengan biaya 5, tetapi lebih murah untuk pergi x-13-11-9-8-29-28-o hanya untuk 4. $a$ $b$ $|a-b|$

Jadi, inilah pertanyaan saya: apa solusi terbaik (dalam hal waktu berjalan asimptotik) yang dapat Anda pikirkan untuk menyelesaikan ini? Anda dapat membuat asumsi yang masuk akal tentang format input.

Catatan: Saya menggunakan tag "puzzle" di sini karena saya memiliki jawaban , tetapi saya tidak yakin itu optimal dan ingin melihat apakah ada orang lain yang dapat meningkatkan solusi saya. (Di sini adalah jumlah bilangan bulat di labirin.) $O(n^2)$ $n$

ds.algorithms optimization puzzles

— Fixee
sumber

Alat peraga untuk anak Anda untuk menciptakan teka-teki kreatif dan matematis seperti itu!

— bbejot

@ bbbot Anda harus melihat beberapa hal yang dia tanyakan kepada saya ... kadang-kadang saya tidak bisa menjawab pertanyaannya. Misalnya, math.stackexchange.com/questions/33094/...

— Fixee

Saya tidak yakin perhitungan biaya Anda sudah benar. x-14-18-27-28-o harus berharga

dan x-13-11-9-8-29-28-o harus berharga

4 + 9 + 1 = 14

$4 + 9 + 1 = 14$

2 + 2 + 1 + 21 + 1 = 27

$2 + 2 + 1 + 21 + 1 = 27$

— Dave Clarke

@ Jangan semua transisi melompat. Kita dapat menulis 'ab' untuk lompatan (yang memiliki biaya

) dan 'a-> b' untuk berjalan dalam grafik dari a ke b (yang memiliki biaya

), yang hanya diperbolehkan jika mereka dapat dijangkau tanpa merusak dinding di labirin. Dalam notasi ini kita memiliki x-> 14-18-> 27-28-> o dan biaya 5 dan x-> 13-11-> 9-8-> 29-28-> o. Saya tipis Fixee tidak memperkenalkan notasi ini karena itu berlebihan: tidak ada alasan untuk melompat dua kali dan dengan demikian melompat dan berjalan di labirin akan bergantian.

| a - b |

$|a - b|$

0

$0$

— Artem Kaznatcheev

Ini adalah masalah pekerjaan rumah yang luar biasa!

— Jeff

$O(n\log n)$ $y$ $y$ $y_-$ $y_+$ $y$ $y$

Pembaruan ini cukup untuk menjaga tumpukan mengembalikan elemen minimum karena setiap simpul terdekat Anda melompat harus secara numerik tepat di atas atau tepat di bawah simpul yang sudah dikunjungi.

$y_-$ $y_+$ $O(n \log n)$ $O(n)$ $O(n \log n)$ $O(n \log n)$

— Dave
sumber

x_{1}, \dots, x_{n}

$x_1,\ldots,x_n$

x

$x$

o

$o$

2 x_{i}

$2x_i$

2 x_{i} + 1

$2x_i+1$

x_{i}

$x_i$

x_{i}

$x_i$

x_{i}

$x_i$

O (n l g n)

$O(n lg n)$

y_{+}

$y_+$

y_{-}

$y_-$

O (n l g n)

$O(n lg n)$

O (n \log \log n)

$O(n \log\log n)$

O (n)

$O(n)$

$O(n^2)$

Tampaknya wajar untuk mengubah ini menjadi masalah jalur terpendek dengan simpul awal khusus (x) dan simpul akhir (0). Akan ada satu simpul lain untuk masing-masing angka. Baik x dan 0 memiliki tepi bobot 0 ke semua node angka yang dapat dijangkau dalam labirin. Semua node angka terhubung dengan bobot 0 (jika jumlahnya dapat dicapai oleh maze) atau dengan perbedaan antara angka (jika tidak dapat dicapai oleh maze).

$O(n^2)$ $n^2$ $O(n^2)$

— bbejot
sumber

O (n^{2})

$O(n^2)$

O (n^{2} \lg n)

$O(n^2 \lg n)$

r

$r$

O (r^{2})

$O(r^2)$

O (n \log n)

$O(n\log n)$

O (r^{2} + n \log n)

$O(r^2 + n\log n)$

Ω (n \log n)

$\Omega(n\log n)$

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$