Pangkalan Gröbner di TCS?

Adakah yang tahu aplikasi menarik dari basis Gröbner untuk ilmu komputer teoretis?

Basis Gröbner digunakan untuk menyelesaikan persamaan polinomial multi-variate, masalah NP-hard secara umum. Saya bertanya-tanya apakah beberapa case khusus yang dapat ditelusuri digunakan untuk menyediakan algoritma / konstruksi / bukti yang efisien dalam area terkait TCS atau TCS (kombinatorik, teori pengkodean).

Komputasi berbasis Gröbner, sementara EXPSPACE-lengkap secara umum, berada di PSPACE di atas cincin Boolean. Ini memiliki aplikasi dalam pengecekan model untuk menggantikan BDD: Quoc-Nam Tran, "Algoritma PSPACE untuk Komputasi Basis Groebner di Boolean Rings", Proc. WASET, Vol. 35, November 2008, ISSN 2070-3740

[CATATAN] Hasil yang menyatakan bahwa perhitungan basis Groebner dalam PSPACE lebih dari cincin Boolean tampaknya salah, lihat Mark van Hoeij, basis Gröbner dalam cincin Boolean bukan P-SPACE , arXiv: 1502.07220 , 2015.

[CATATAN] Klaim bahwa hasil yang menyatakan bahwa perhitungan berbasis Groebner dalam PSPACE lebih dari cincin Boolean tampaknya salah, salah. Penulis mengacaukan kompabilitas PSPACE dengan ukuran polinomial. Fungsi PSPACE mungkin memiliki output yang panjang secara eksponensial.

Ada volume Springer yang menarik pada aplikasi basis Gröbner dalam pengkodean dan kriptografi:

• Basis Gröbner, Pengodean, dan Kriptografi , / Sala, M .; Mora, T .; Perret, L .; Sakata, S .; Traverso, C. (Eds.).

Secara pribadi saya sedang melakukan penelitian saya dalam algoritma untuk menghitung cita-cita polinomial locator kesalahan (konsep yang cukup terkenal dalam teori pengkodean, terutama sindrom decoding). Dalam kasus kode dari algeraic geometri locator error ideal biasanya adalah ideal polinomial dari beberapa variabel - itulah tempatnya, di mana Gröbner Bases memainkan peran sentral. Dalam volume yang disebutkan di atas, bagian yang paling menarik bagi saya adalah deskripsi S. Sakata tentang algoritma BMS dan survei aplikasi untuk mendekode kode geometri aljabar.

Baru saja mendengar selama lokakarya 8F

Bukti asli bahwa pengkodean jaringan dapat diimplementasikan dalam jaringan aliran menggunakan basis Gröbner.

Basis Gröbner telah diterapkan pada kendala masalah kepuasan (lihat hibah ini ). Pada titik ini, teknik dasar Gröbner tampaknya tidak berguna untuk aplikasi kepuasan kendala, karena mereka bersaing dengan heuristik pencarian yang matang, teknik penegakan konsistensi, dan penyebar tujuan khusus yang efisien - belum lagi solver SAT tujuan umum yang baik. Namun, saya pikir pasti ada kegunaan teoritis yang menunggu untuk ditemukan, khususnya ketika basis Gröbner memiliki ukuran yang wajar. Lihat juga makalah oleh Jefferson, Jeavons, Green, dan van Dongen , yang dipresentasikan di MACIS 2007 (versi jurnal: AMAI 67 359-382, 2013, doi: 10.1007 / s10472-013-9365-7 ), yang membahas beberapa masalah .

Saya menggunakan basis Gröbner untuk membantu menemukan bukti singkat dari teorema dikotomi baru untuk masalah #CSP pada grafik 3-reguler dengan fungsi kendala biner tunggal yang memiliki bobot kompleks ( versi arXiv ).

Ada hubungan kesetaraan alami atas himpunan fungsi kendala, yaitu, if untuk semua grafik instance yang mungkin. Untuk grafik 3-reguler, ada lebih sedikit kelas ekivalensi daripada yang seharusnya ada di semua grafik yang mungkin. Karena teorema dikotomi hanya perlu membuktikan kompleksitas dari satu fungsi kendala di setiap kelas ekivalensi, ini mengarah pada bukti yang lebih pendek.# CSP ( f ) = # CSP ( g $f \sim g$$\#\operatorname{CSP}(f) = \#\operatorname{CSP}(g)$

Basis Gröbner digunakan untuk mengkonversi dari empat variabel awal yang diperlukan untuk mendefinisikan fungsi biner menjadi enam "variabel simetrized" yang tidak berubah pada setiap kelas ekivalensi (lihat bagian D dari makalah yang ditautkan di atas). Namun, dasar Gröbner tidak disebutkan dalam makalah karena satu-satunya tujuan adalah transformasi otomatis dari empat variabel awal menjadi enam variabel simetri di berbagai polinomial (yang telah dibentuk sebelumnya oleh Mathematica's GroebnerBasis ).

Makalah berikut dapat dilihat sebagai satu aplikasi.

• Gunnar Carlsson, Gurjeet Singh, Afra Zomorodian: Komputasi Ketekunan Multidimensi. Journal of Computational Geometry, 1 (1) 2010, halaman 72-100. http://jocg.org/index.php/jocg/article/view/19

Saya melihat penulis menggunakan algoritma Buchberger sebagai subrutin, dan mengeksploitasi struktur masalah mereka untuk membuktikan bahwa waktu berjalan dibatasi secara polinomi.

Grant Passmore dan yang lainnya menulis tentang mereka dalam konteks pemecah SMT. Saya bukan ahli dalam basis Groebner atau pada pemecah SMT, jadi sulit bagi saya untuk mengevaluasi seberapa baik referensi ini menjawab pertanyaan Anda.

Dalam kompleksitas bukti penggunaan basis Gröbner telah diusulkan oleh Clegg, Edmonds, Impagliazzo untuk membantah CNF. Ada kasus-kasus di mana sistem bukti ini mengungguli Resolusi secara eksponensial tetapi bagi saya tampaknya tidak ada peningkatan kinerja nyata untuk contoh umum.

Juga benar bahwa banyak batas bawah untuk Resolution berlaku untuk Polynomial Calculus (sistem bukti berdasarkan pada pangkalan Gröbner). Pengecualian biasanya dibangun untuk karakteristik bidang yang mendasarinya. Ini berarti bahwa bekerja di dapat membantu Anda dalam beberapa formula tetapi tidak pada yang lain.$GF(2)$

Namun Kalkulus Polinomial belum diteliti sebanyak Resolusi, sehingga heuristik yang teruji tidak tersedia.

Lihat juga ini untuk aplikasi di cryptanalysyis (saya tidak tahu banyak tentang itu).

Alekseyev dan Pevzner menggunakannya dalam tulisan ini untuk menghitung jarak - antara dua gen dalam waktu linier. Secara longgar, jarak itu didefinisikan sebagai jumlah minimum kali Anda perlu memotong genom tertentu menjadi potongan-potongan dan mengatur ulang mereka untuk mengubah genom itu menjadi yang lain diberikan.$k$$k$

Basis Grobner digunakan untuk algoritma decoding daftar tercepat untuk kode Reed-Solomon: http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.320.1170&rep=rep1&type=pdf

Basis Gröbner telah berhasil digunakan untuk memecahkan masalah penting dalam geometri tampilan berganda dalam visi komputer .

Mengikuti http://arxiv.org/pdf/1502.05912.pdf kadang-kadang dasar grobner digunakan untuk menentukan isomorfisme (ketika grafik dikodekan oleh sistem persamaan). Tapi ini bergabung dengan penggunaan basis grobner dalam menyangkal CNFS.