Apakah diagonalisasi menangkap esensi dari pemisahan kelas?

11

Saya tidak ingat pernah melihat pemisahan kelas yang tidak didasarkan pada hasil diagonalisasi dan relatisasi. Diagonisasi masih dapat digunakan untuk memisahkan kelas yang diketahui yang tersisa, karena argumen non-relativiasi mungkin masih digunakan dalam kesimpulan diagonalisasi, atau dalam konstruksi mesin Turing yang didiagonalisasi. Berikut beberapa pertanyaan terkait:

Apakah ada bukti pemisahan kelas yang tidak didasarkan pada diagonalisasi?

Dan jika demikian

Bisakah kita menemukan mekanisme referensi diri di belakang mereka?

Lebih lanjut,

apakah setiap pemisahan kelas memiliki bukti "alami kanonik" (dalam pengertian informal)?

Jika demikian, kita harus mencoba menemukan argumen yang tidak relativizing, daripada skema bukti lain untuk pertanyaan terbuka.

Bisakah setiap bukti non-diagonal ditulis ulang menjadi diagonal?

— Ludovic Patey
sumber

Saya telah mengedit pertanyaan untuk membuatnya lebih mudah dibaca. Maaf jika saya mengubah niat Anda.

— András Salamon

@ András Terima kasih atas edisi Anda. Saya sering tidak jelas. Ada satu perubahan: maksud saya bahwa diagonalisasi tidak gagal karena di dalamnya, kita dapat menggunakan argumen non-relativizing. Saya pikir relativisasi dan diagonalisasi adalah ortogonal. Dan saya tidak menganggap itu bukti yang tidak menggunakan diagonalisasi akan menggunakan mekanisme referensi diri yang mendalam, tetapi hanya bahwa dalam pemahaman yang mendalam tentang bukti, kita dapat menemukan mekanisme referensi diri yang tidak perlu ^^. Saya akan mengedit kembali poin-poin tertentu.

— Ludovic Patey

T C^{0}

$TC^0$

15

Tergantung pada bagaimana Anda memformalkan diagonalisasi. Kozen memiliki makalah yang menunjukkan pemisahan kelas yang rumit harus menjadi bukti diagonalisasi.

— Lance Fortnow
sumber

+1 Saya pikir saya membaca ini di blog Anda dan saya menunggu jawaban Anda :)

— Mohammad Al-Turkistany

5

Sejak diagonalisasi relativizes, setiap hasil kompleksitas menyiratkan relativiasi kontradiktif tidak dapat didasarkan pada diagonalisasi. Mengutip Arora-Barak :

$O$ $O \subseteq \{0, 1\}^*$

$P$ $NP$ $P\ne NP$

$P^{PH} \subseteq IP$

— MS Dousti
sumber

2

Perhatikan bahwa Baker, Gill, dan Solovay tidak mengatakan diagonalisasi tidak dapat bekerja, tetapi membuat pernyataan yang lebih bernuansa "Tampaknya tidak mungkin metode diagonalisasi biasa memadai".

— András Salamon

@ Sadq Saya tidak setuju bahwa diagonalisasi relativizes. Misalnya, Anda dapat menentukan mesin diagonal berdasarkan properti yang mengambil properti perhitungan lokal, yang tidak ter-relativisasi.

— Ludovic Patey

Algebrization bukanlah teknik, melainkan konsep yang mirip dengan relativization. Saya kira maksud Anda aritmetisasi sebagai gantinya. Dan apa hubungannya dengan bukti alami?

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

1

@Sadeq: BGS jelas memungkinkan definisi diagonalisasi yang lebih inklusif daripada yang tampaknya dimaksudkan oleh Arora-Barak. Jika ahli teori seperti Robert Solovay berpikir mungkin ada gagasan lain tentang diagonalisasi yang tidak merelatifkan, maka kita mungkin harus membiarkan kemungkinan itu terbuka. Catatan halaman 75 dari A&B tidak menampik kemungkinan bahwa beberapa jenis diagonalisasi menggunakan fakta yang tidak berhubungan tentang mesin Turing; manuskrip Arora-Impagliazzo-Vazirani yang masih belum diterbitkan menunjukkan bahwa ada masalah-masalah yang cukup halus yang terlibat. cseweb.ucsd.edu/~russell/ias.ps

— András Salamon

1

Ada beberapa perdebatan tentang ini: lihat misalnya tanggapan Fortnow terhadap makalah AIV: people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/relative.pdf

— Suresh Venkat

5

Untuk menambah jawaban Fortnow, melanjutkan pekerjaan Kozen, Nash, Impagliazzo, dan Remmel memformalkan gagasan diagonalisasi yang kuat dan memberikan beberapa bukti bahwa itu tidak relativize. Untuk sebagian menjawab pertanyaan pertama Anda, hasilnya menunjukkan bahwa beberapa bukti pemisahan kelas tidak dapat didasarkan pada diagonalisasi yang kuat. Berikut ini abstraknya:

Kami mendefinisikan dan mempelajari diagonalisasi yang kuat dan membandingkannya dengan diagonisasi yang lemah, tersirat dalam [7]. Hasil Kozen dalam [7] menunjukkan bahwa hampir setiap pemisahan dapat disusun kembali sebagai diagonalisasi yang lemah. Kami menunjukkan bahwa ada kelas bahasa yang tidak dapat dipisahkan oleh diagonalisasi yang kuat dan memberikan bukti bahwa diagonalisasi yang kuat tidak terelatifikasi. Kami juga mendefinisikan dua jenis diagonalisasi tidak langsung dan mempelajari kekuatan mereka.

Karena kami mendefinisikan diagonalisasi yang kuat dalam hal bahasa universal, kami mempelajari kompleksitasnya. Kami membedakan dan membandingkan bahasa universal yang lemah dan ketat. Akhirnya kami menganalisis beberapa varian bahasa universal yang tampaknya lebih lemah, yang kami sebut bahasa pseudouniversal, dan menunjukkan bahwa di bawah kondisi penutupan yang lemah mereka dengan mudah menghasilkan bahasa universal.

1-Nash, A., Impagliazzo, R., Remmel; J. "Bahasa Universal dan Kekuatan Diagonalisasi." Konferensi IEEE Tahunan ke-18 tentang Kompleksitas Komputasi (CCC'03), hlm. 337, 2003.

— Mohammad Al-Turkistany
sumber

5

Apakah ada bukti pemisahan kelas yang tidak didasarkan pada diagonalisasi?

Ya, ada, tetapi tidak untuk kelas kompleksitas yang seragam. Kami tidak memiliki argumen untuk mengesampingkan bukti seperti itu, tetapi sejauh ini semua pemisahan antara kelas kompleksitas seragam tampaknya menggunakan diagonalisasi di beberapa tempat.

Bisakah kita menemukan mekanisme referensi diri di belakang mereka?

Saya tidak berpikir pemisahan kelas kompleksitas tidak seragam dapat berubah menjadi argumen "referensi diri" karena mereka bukan kelas yang seragam dan tidak dapat disebutkan, dan untuk argumen referensi diri kita perlu menghitung anggota kelas.

apakah setiap pemisahan kelas memiliki bukti "alami kanonik" (dalam pengertian informal)?

Tergantung pada apa yang Anda maksud dengan "kanonik". AFAIK, tidak ada konsensus pada jawaban atas pertanyaan "ketika dua bukti pada dasarnya identik?".

Jika demikian, kita harus mencoba menemukan argumen yang tidak relativizing, daripada skema bukti lain untuk pertanyaan terbuka. Bisakah setiap bukti non-diagonal ditulis ulang menjadi diagonal?

Seperti yang telah ditunjukkan orang lain, jawabannya tergantung pada apa yang Anda maksud dengan diagonalisasi. Dalam pengertian yang lebih umum (makalah Kozen dihubungkan oleh Lance), jawabannya adalah ya untuk dua "kelas kompleksitas" yang berbeda (sebagaimana didefinisikan dalam makalah Kozen). Anda dapat mengubah argumen menjadi argumen "diagonalisasi". Tapi:

ini tidak berlaku untuk kelas kompleksitas yang tidak memenuhi persyaratan yang dinyatakan dalam makalah Kozen (yaitu bukan "kelas kompleks" Kozen).
$P$ $PSpace$
yang penting adalah bahwa semakin umum suatu metode, semakin terbatas aplikasinya (jika digunakan dengan sendirinya) karena metode perlu bekerja untuk lebih banyak kasus dan ini adalah pembatasan pada metode, kita tidak dapat menggunakan spesifik informasi yang kami miliki tentang masalah jika tidak dibagikan atau tidak dapat diganti dengan sesuatu yang serupa untuk masalah lain yang ingin kami terapkan metode tersebut kepada mereka.
Kita dapat mengubah argumen pemisahan menjadi argumen "diagonalisasi" (mengingat pembatasan yang saya sebutkan di atas), tetapi fakta bahwa "fungsi diagonalisasi benar-benar memisahkan kelas" itu sendiri membutuhkan bukti. Makalah Kozen menunjukkan bahwa ada fungsi diagonalisasi jika kelasnya berbeda, tetapi bagaimana kita bisa tahu bahwa fungsi yang diberikan benar-benar mendiagonalisasi? Kami membutuhkan bukti! Dan makalah (AFAIU) tidak memberi kami ide tentang bagaimana membuat bukti itu. Jika kita memiliki argumen pemisahan, kita dapat mengubahnya menjadi bukti diagonalisasi, tetapi itu hanya setelahmemiliki bukti. Bukti asli akan berfungsi sebagai bagian dari bukti diagonalisasi baru, itu akan menunjukkan bahwa fungsi tersebut benar-benar mendiagonalisasi. (Dan dalam beberapa hal, bukti diagonalisasi yang dibangun dari kertas Kozen tidak akan menjadi "kanonik" karena itu akan sepenuhnya bergantung pada argumen aslinya.)

— Kaveh
sumber

Saya harus lebih berhati-hati tentang pertanyaan kedua Anda (Bisakah kita menemukan mekanisme referensi diri di belakang mereka?) Dan ketidakseragaman. Saya pikir Anda perlu lebih spesifik tentang apa yang Anda maksud dengan "mekanisme referensi diri". Kata "referensi-diri" adalah salah satu kata yang sering disalahgunakan (terutama dalam karya filosofis), jadi kita harus berhati-hati. Mekanisme referensi-diri yang biasa (dalam arti Godel, juga lihat buku R. Smullyan "Diagonisasi dan Referensi-Diri", 1994) perlu menyebutkan objek (di sini TM) dari kelas yang lebih kecil dalam bahasa. Tetapi ada orang lain yang juga menggunakan

— Kaveh

gunakan kata "referensi diri". EgK Mulmuley menggunakannya dalam pengaturan GCT yang tidak seragam dalam apa yang ia sebut sebagai "paradoks referensi-diri". Tetapi sulit untuk melihat bagi saya jika itu yang ada dalam pikiran Anda ketika Anda menggunakan "mekanisme referensi diri".

— Kaveh