Apakah ada teori kompleksitas analog dari teorema Rice dalam teori komputabilitas?

Teorema Rice menyatakan bahwa setiap properti nontrivial dari set yang dikenali oleh beberapa mesin Turing tidak dapat diputuskan.

Saya mencari teorema tipe-Beras kompleksitas-yang memberi tahu kita sifat nontrivial dari set NP mana yang tidak bisa dipraktikkan.

Membuktikan versi teoretis kompleksitas Teorema Rice adalah motivasi bagi saya untuk mempelajari kebingungan program.

Teorema Rice pada intinya mengatakan, bahwa sulit untuk memahami fungsi-fungsi yang dihitung oleh program, mengingat program tersebut. Namun, alasan masalah-masalah ini tidak dapat dipastikan adalah bahwa mereka bersifat tak terbatas. Bahkan pada satu input, sebuah program mungkin tidak pernah berhenti, dan kita perlu mempertimbangkan apa yang program lakukan pada input yang tak terhingga banyaknya.

Teorema Rice versi final akan memperbaiki ukuran input dan waktu berjalan suatu program, dan mengatakan bahwa program tersebut sulit dipahami. Setelah Anda memperbaiki ini, Anda mungkin juga melihat program sebagai sirkuit Boolean. Apa sifat fungsi yang dihitung oleh sirkuit Boolean yang sulit dihitung? Salah satu contohnya adalah `` tidak selalu 0 '', yang merupakan masalah Kepuasan NP-lengkap. Tetapi tidak seperti Teorema Rice, ada beberapa properti yang tidak sepele tetapi mudah, bahkan tanpa memahami rangkaiannya. Kita selalu dapat mengetahui bahwa: fungsi yang dihitung oleh suatu sirkuit memiliki kompleksitas sirkuit yang terbatas (ukuran sirkuit). Selain itu, kami selalu dapat mengevaluasi rangkaian input yang kami pilih.

Jadi mengatakan milik $f_C$ mudah dengan akses Black-box jika dapat menghitung, d dalam waktu polinomial probabilistik oleh algoritma yang mendapat sebagai masukan , sebuah terikat pada | C | dan akses oracle untuk f C . Sebagai contoh, kepuasan tidak mudah dengan akses kotak hitam, karena kita dapat membayangkan rangkaian ukuran n yang hanya menghasilkan jawaban 1 pada input x yang dipilih secara acak . Tidak ada algoritme kotak hitam yang dapat membedakan sirkuit seperti itu dari sirkuit yang selalu mengembalikan 0, karena probabilitas untuk menanyakan oracle pada x secara eksponensial kecil. Di sisi lain, properti f ( 0..0 $n$$|C|$$f_C$$n$$x$$x$ adalah kotak hitam mudah. Pertanyaannya adalah: apakah ada sifat f C yang decideable di probabilistik polinomial-waktu yang tidak mudah dengan akses Black-box?$f(0..0)=1$$f_C$

Sementara pertanyaan ini terbuka sejauh yang saya tahu, pendekatan yang kami maksudkan dikesampingkan. Kami berharap untuk membuktikan ini dengan menunjukkan bahwa kekaburan program yang aman secara kriptografis dimungkinkan. Namun, Boaz membuktikan sebaliknya: bahwa itu tidak mungkin. Secara implisit ini menunjukkan bahwa akses kotak hitam ke sirkuit lebih terbatas daripada akses penuh ke deskripsi sirkuit, tetapi buktinya tidak konstruktif, jadi saya tidak dapat menyebutkan properti apa pun di atas yang mudah diberikan deskripsi sirkuit tetapi tidak dengan hitam -kotak akses. Sangat menarik (setidaknya bagi saya) jika properti seperti itu dapat direkayasa balik dari kertas kami.

Berikut ini rujukannya: Boaz Barak, Oded Goldreich, Russell Impagliazzo, Steven Rudich, Amit Sahai, Salil P. Vadhan, Ke Yang: Tentang (Im) kemungkinan Program Mengaburkan. CRYPTO 2001: 1-18

Ada beberapa teorema yang terbukti selama bertahun-tahun. Baru-baru ini, ada upaya untuk membangun teorema "Beras-gaya" untuk masalah di sirkuit. (Adalah wajar untuk mengganti "mesin" dengan "sirkuit". Setelah Anda melakukannya, jumlah total input yang mungkin menjadi tetap, sehingga Anda tidak mengalami masalah ketidakpastian.) Dua referensi:

Bernd Borchert, Frank Stephan: Mencari Analogi Teorema Rice dalam Teori Kompleksitas Sirkuit. Matematika Catatan. Q. 46 (4): 489-504 (2000)

Lane A. Hemaspaandra, Jörg Rothe: Langkah kedua menuju kompleksitas-teoritik analog dari Teorema Rice. Teor Komputasi. Sci. 244 (1-2): 205-217 (2000)

Berikut ini adalah contoh hasil: "Setiap properti penghitungan yang tepat dari nonempty sirkuit adalah UP-keras." Anda dapat membaca makalah untuk definisi, tetapi ini secara kasar berarti bahwa setiap properti tergantung pada jumlah penugasan yang memuaskan untuk suatu rangkaian sulit untuk kelas UP (karenanya tidak dapat dipraktekkan).

Ada juga karya yang lebih tua pada versi teorema kompleksitas-teorema Rice, dalam nada yang berbeda. Saya tidak terbiasa dengan itu, tetapi kertas-kertas di atas mengutip mereka.

Sebuah teorema Rice-gaya untuk merupakan hasil dibuktikan dengan Hemaspaandra dan Thakur yang menyatakan bahwa setiap properti bahasa trivial dari N P set adalah$NP$$NP$$NP$