Seperti yang ditunjukkan David, Anda pada dasarnya meminta batasan pada grafik yang terhubung dengan derajat rata-rata 3. Untuk kasus grafik 3-reguler yang lebih khusus, batas bawah dan atas yang berikut dapat diperoleh. Ditandai dengan pw (G) jalur lebar dari grafik G, jelas itu
(1) tw (G) <= pw (G) untuk setiap grafik G (karena dekomposisi jalur adalah dekomposisi pohon)
Terbukti dalam [1] itu
(2) Untuk setiap \ epsilon> 0, terdapat bilangan bulat n_0 sehingga untuk setiap grafik 3-reguler G pada n> = n_0 simpul, pw (G) <= n / 6 + \ epsilon * n.
Ini memberi Anda batas atas kira-kira n / 6 pada treewidth grafik 3-reguler.
Untuk batas bawah yang hampir pasti, saya kutip dari [2]:
"Karena grafik kubik acak hampir pasti memiliki lebar pembelahan setidaknya 0,101 n (Kostochka, Melnikov, 1992), mereka hampir pasti tidak memiliki pemisah ukuran lebih kecil dari n / 20" dan dengan demikian hampir pasti tidak ada pembusukan pohon dengan lebar lebih kecil dari n / 20 .
Untuk batas bawah "pasti" pada lebar pembelahan, [3] menunjukkan keluarga tak terbatas dari grafik 3-reguler, sehingga setiap grafik G = (V, E) dalam keluarga ini memiliki lebar pembelahan setidaknya 0,082 * | V |.
[1] Fedor V. Fomin, Kjartan Høie: Pathwidth dari grafik kubik dan algoritma yang tepat. Inf. Proses. Lett. 97 (5): 191-196 (2006)
[2] Jaroslav Nesetril, Patrice Ossona de Mendez: Grad dan kelas dengan ekspansi II terbatas. Aspek algoritma. Eur. J. Comb. 29 (3): 777-791 (2008)
[3] Sergei L. Bezrukov, Robert Elsässer, Burkhard Monien, Robert Preis, Jean-Pierre Tillich: Batas bawah spektral baru pada lebar pembelahan grafik. Teor Komputasi. Sci. 320 (2-3): 155-174 (2004)