Formula terpendek untuk CNF monoton jangka-panjang


10

Rumus CNF monoton dengan istilah m pada n variabel ( ) adalah rumus dari bentuk f ( x 1 , ... , x n ) = C i , di mana setiap C i adalah ATAU dari beberapa bagian dari variabel x 1 , , x n , dan i berkisar dari 1 hingga m .x1,,xnf(x1,,xn)=CiCix1,,xni1m

Sebagai contoh, adalah formula CNF monoton dengan 2 istilah pada 4 variabel.(x1x3x4)(x2x4)

Saya mencari rumus terpendek (tidak harus monoton, tidak harus CNF, rumus apa pun akan melakukan!) Pada set variabel yang sama yang mewakili fungsi yang sama dengan formula CNF monoton yang diberikan pada n variabel dengan n istilah. (Perhatikan bahwa jumlah syarat dan variabel sama.)

Salah satu cara yang jelas untuk membangun formula adalah untuk memperluas definisi CNF yang diberikan, yang akan memberi kita formula ukuran . (Mari kita mendefinisikan ukuran formula menjadi panjang formula ketika dituliskan sebagai string.) Saya ingin tahu apakah ini adalah konstruksi umum yang paling efisien atau jika untuk setiap n monoton istilah CNF terdapat formula ukuran o ( n 2 ) .O(n2)o(n2)

Saya hanya ingin tahu apakah ini mungkin, saya tidak begitu tertarik pada algoritma. Jika ini tidak memungkinkan, fungsi yang berfungsi sebagai sampel tandingan akan menjadi besar. Pointer ke tempat saya dapat menemukan jawaban dalam literatur juga dihargai.

EDIT: Saya menambahkan contoh untuk memperjelas.

f=(x1x2)(x1x3)(x1xn)x1(x2x3xn)

Jawaban:


11

Ω(n2/logn)exp(n2) nnexp(slogs)s

lognO(n2/logn)


Sempurna terima kasih! Faktor log tidak terlalu penting bagi saya, jadi ini menjawab pertanyaan saya sepenuhnya.
Robin Kothari

2

Pertimbangkan bahwa untuk CNF apa pun Anda dapat menghitung sekumpulan prime implikasinya (yang minimumnya harus menjadi himpunan bagian) dengan mengambil penutupan di bawah resolusi, dan menerapkan eliminasi subsumsi.

FFF

Tentu saja, saya berasumsi Anda tidak ingin memperkenalkan variabel baru.

nfn


Bagus saya suka itu. (Secara sepintas, dalam kasus kasus DNF monoton muncul, @Robin, saya percaya ini bisa menarik: citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.69.4716 )
Daniel Apon

1
Saya tidak yakin saya mengerti. Ukuran minimum CNF mungkin adalah formula CNF monoton yang sudah saya miliki, tetapi saya sedang mencari formula panjang terkecil dari jenis apa pun. Tidak harus CNF atau monoton. Saya akan mengedit pertanyaan saya untuk membuatnya lebih jelas.
Robin Kothari

1
Ah saya mengerti. Nah, apa yang saya katakan mencakup jika harus CNF. Jika itu bisa menjadi formula proposisional yang sewenang-wenang, maka saya perlu berpikir lebih banyak.
MGwynne
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.