Kutipan yang menunjukkan anak di bawah umur adalah anak di bawah umur topologi untuk grafik subkubis

Jika adalah grafik dengan derajat 3 maksimum dan merupakan minor , maka adalah minor topologi $G$ $H$ $G$ $H$ .

Wikipedia mengutip hasil ini dari "Grafik Theory" Diestel. Itu terdaftar sebagai Prop 1.7.4 di versi terbaru buku. Buku ini tidak memiliki bukti atau kutipan.

Apakah keberadaannya diketahui sebagai bukti (asli) dari ini?

Lebih lanjut, adakah referensi yang membuktikan bahwa jika adalah sebuah jalan atau pembagian dari cakar dan merupakan minor dari maka adalah sebuah subgraf dari ? Itu disebutkan di sini secara singkat tetapi tidak memiliki referensi. $G$ $H$ $G$ $H$

— Eli
sumber

Buku ini tersedia di diestel-graph-theory.com

— Alexander Langer

Terima kasih Alexander. Versi buku itu tidak memberikan referensi atau bukti proposisi, apakah Anda tahu apakah edisi lengkap memilikinya atau sumber lain untuknya?

— Eli

Saya ingat telah mencari kutipan untuk fakta kedua yang Anda nyatakan, tetapi saya tidak menemukan apa pun. Kutipan terbaik yang saya tahu untuk pernyataan pertama adalah buku Diestel, yang tidak membuktikan pernyataan itu. Saya akan menunggu untuk melihat apakah seseorang menemukan kutipan. Jika tidak, saya akan mengirim bukti sebagai jawaban.

— Robin Kothari

@Robin, pada titik ini jika Anda memposting bukti, itu cukup baik untuk saya. Apakah ada cara yang tepat untuk mengaitkan Anda jika hasil ini digunakan di suatu tempat? Saya tidak terbiasa dengan kebijakan pertukaran tumpukan atau praktik standar.

— Eli

Sebenarnya, kutipan sudah dibahas dan diselesaikan di sini: meta.cstheory.stackexchange.com/questions/352/…

— Aaron Sterling

Jika adalah grafik dengan derajat 3 maksimum dan merupakan minor , maka adalah minor topologi $G$ $H$ $G$ $H$ .

Karena adalah minor , dapat diperoleh dari $G$ $H$ $G$ $H$ dengan menghapus tepi, simpul terisolasi dan melakukan kontraksi tepi. Mudah juga untuk menunjukkan bahwa kita dapat bersikeras bahwa operasi subgraph dilakukan terlebih dahulu, yaitu, pertama-tama kita dapat melakukan semua penghapusan edge dan vertex dan kemudian melakukan semua kontraksi edge. Selain itu, mari kita batasi definisi "kontraksi tepi" untuk melarang tepi yang berkontraksi di mana salah satu simpul memiliki derajat 1. Mengontrak tepi seperti itu sama dengan menghapusnya, jadi ini tidak akan mengubah definisi grafik anak di bawah umur.

$H'$ $H$ $H'$ $G$ $H'$ $G$

$G$ $H'$ $H'$ dan semua grafik perantara harus memiliki derajat 3 maksimum karena tidak ada cara untuk mengurangi derajat maksimum grafik dengan melakukan kontraksi tepi. (Ini akan mungkin terjadi jika kami mengizinkan kontraksi tepi pada titik derajat 1.)

$H'$ $G$

$H_1$ $H_2$ $H_2$ $H_1$ $H'$ $G$ $G$ $H'$ $H$

$G$ $H$ $G$ $H$

$G$ $H$ $H$ $H$ $G$

Kami juga membutuhkan hasil ini untuk kertas sekali, jadi kami menyertakan bukti singkat di kertas kami. Anda dapat menemukan hasilnya dalam kompleksitas kueri Quantum properti grafik kecil-tertutup . Ini disebutkan di halaman 13. Namun, fakta ini tersembunyi dalam bukti sesuatu yang lain dan tidak dinyatakan secara eksplisit sebagai teorema.

Yang juga menarik adalah bahwa ada kebalikan dari teorema ini:

$G$ $G$ $G$

— Robin Kothari
sumber

Terima kasih. Jika Anda kebetulan menemukan kutipan yang dipublikasikan untuk hasil ini, saya masih menyukainya, tetapi ini adalah bintang.

— Eli

Jawaban ini sekarang ditampilkan di blog komunitas.

— Aaron Sterling

Jawaban yang bagus, tapi saya pikir teknik Anda yang melarang kontraksi derajat-1 memiliki kelemahan. Sebagai contoh, pertimbangkan G = K_4 minus semua sisi. Mengontrak sepanjang dua simpul derajat 3 dalam G akan menghasilkan grafik jalur P_3, dengan derajat maksimal 2. Sebaliknya, jika Anda melarang kontraksi di tepi yang akan setara dengan beberapa penghapusan, buktinya harus melalui. Secara formal, Anda melarang kontraksi antara titik x dan y jika gamma (x) \ {y} = gamma (y) \ x. Dapat dengan mudah ditunjukkan bahwa setiap kontraksi yang tidak melanggar batasan ini akan menghasilkan simpul baru dengan derajat yang tidak menurun.

— RussellStewart

@ user2237635: Anda benar, terima kasih.

— Robin Kothari