Dapatkah kekerasan NP yang kuat benar-benar ditunjukkan menggunakan reduksi polytime biasa?

17

Saya baru-baru ini membaca bukti yang dimaksudkan untuk menunjukkan bahwa masalah adalah NP-hard sangat, hanya dengan mengurangi itu (dalam waktu polinomial) dari masalah NP-hard. Ini tidak masuk akal bagi saya. Saya akan berpikir bahwa Anda harus menunjukkan bahwa angka apa pun yang digunakan dalam pengurangan dan contoh masalah yang Anda kurangi menjadi terikat secara polinomi dalam ukuran masalah.

Saya kemudian melihat bahwa Wikipedia memberikan instruksi umum yang sama untuk bukti semacam ini, tetapi saya tidak benar-benar yakin sampai saya melihat Garey & Johnson pada dasarnya mengatakan hal yang sama. Untuk lebih spesifik, mereka mengatakan, “Jika NP-hard dalam arti kuat dan terdapat transformasi pseudo-polinomial dari ke , maka adalah NP-hard dalam arti kuat,” dan “Perhatikan, menurut definisi, algoritma waktu polinomial juga merupakan algoritma waktu polinomial pseudo. " $\Pi$ $\Pi$ $\Pi'$ $\Pi'$

Tentu saja, saya menerima berita dari Garey & Johnson tentang ini — saya hanya tidak mengerti bagaimana ini bisa benar, itulah yang saya ingin bantu. Inilah alasan saya (mungkin cacat) ...

Ada masalah NP-complete yang sangat, dan semua ini (menurut definisi) NP-hard serta NP-complete. Setiap masalah NP-complete dapat (menurut definisi) direduksi menjadi masalah lainnya dalam waktu polinomial (dan karenanya pseudopolinomial). Mengingat pernyataan Garey & Johnson, oleh karena itu bagi saya tampak bahwa setiap masalah NP-lengkap sangat NP-lengkap, dan, oleh karena itu, bahwa setiap masalah NP-hard adalah NP-hard. Ini, tentu saja, membuat konsep kekerasan-NP yang kuat menjadi tidak berarti ... jadi apa yang saya lewatkan?

Edit / perbarui (berdasarkan jawaban Tsuyoshi Ito):

Persyaratan (d) dari definisi Garey & Johnson tentang transformasi polinom (semu) (jenis reduksi yang diperlukan untuk memberikan kekerasan-NP dalam arti kuat) adalah bahwa besaran numerik terbesar dalam contoh yang dihasilkan dibatasi secara polinomi, sebagai fungsi ukuran masalah dan besarnya numerik maksimal dari aslinya. Ini, tentu saja, berarti bahwa jika masalah asli NP-keras dalam arti kuat (yaitu, bahkan ketika besaran numeriknya secara polinomi dibatasi dalam ukuran masalah), ini juga akan berlaku untuk masalah yang Anda kurangi. Ini tidak harus menjadi kasus untuk pengurangan polimere biasa (yaitu, satu tanpa persyaratan tambahan ini).

cc.complexity-theory np-hardness reductions

— Magnus Lie Hetland
sumber

Bagus! TA matematika saya lakukan kemarin dan saya pikir itu mencurigakan. Sekarang saya bisa memberinya tautan.

— Raphael

14

Menurut terminologi dalam makalah oleh Garey dan Johnson, transformasi polinomial-waktu tidak selalu transformasi pseudo-polinomial karena dapat melanggar item (d) dalam Definisi 4.

— Tsuyoshi Ito
sumber

1

Benar — jadi algoritme polinomial tentu pseudopolinomial, tetapi reduksi polinomial tidak serta merta apa yang oleh G&J disebut transformasi pseudopolinomial. Bahkan, item mereka (d) adalah persis apa yang saya pikir hilang (yaitu, beberapa batasan ukuran nomor). Terima kasih.

— Magnus Lie Hetland

9

Untuk memperluas jawaban Tsuyoshi:

Dalam konteks Garey dan Johnson, pertimbangkan transformasi dari PARTISI (hlm. 47, Bagian 3.1) menjadi PENJADWALAN MULTIPROCESSOR (hlm. 65, Bagian 3.2.1, Butir (7)).

Transformasi (dengan pembatasan) melibatkan pengaturan $D=\frac{1}{2}\sum_{a\in A}l(a)$ $l(a)$ $q_2$ $\forall I \in D_{\Pi}$ $[f(I)] \le q_2$ $[I],$ $[I])$ (Yaitu item (d) dalam definisi transformasi pseudo-polinomial).

$l(a)$ $l(a)$ $|A|$

Anda mungkin ingin membaca Wikipedia tentang topik terkait . Misalnya, kami memiliki algoritme waktu polinomial berbasis pemrograman yang dinamis untuk masalah KNAPSACK NP-lengkap - setidaknya, asalkan jumlahnya cukup kecil. Ketika angkanya terlalu besar, algoritma "polinomial-time" ini akan menampilkan "perilaku eksponensial." (G&J, hlm. 91, Bagian 4.2)

— Daniel Apon
sumber