Pertanyaan saya adalah tentang kesetaraan keamanan berbagai fungsi kandidat satu arah yang dapat dibangun berdasarkan kekerasan anjak piutang.
Dengan asumsi masalah
FAKTOR: [Diberikan untuk bilangan prima acak P , Q < 2 n , temukan P , Q. ]
tidak dapat dipecahkan dalam waktu polinomial dengan probabilitas yang tidak dapat diabaikan, fungsinya
PRIME-MULT: [Diberikan bit string sebagai input, gunakan x sebagai seed untuk menghasilkan dua bilangan prima acak P dan Q (di mana panjang P , Q hanya lebih kecil secara polinomi dari panjang x ); kemudian output P. Q. ]
dapat ditampilkan sebagai satu arah.
Kandidat fungsi satu arah lainnya adalah
INTEGER-MULT: [Diberikan bilangan bulat acak sebagai input, output A B. ]
INTEGER-MULT memiliki keunggulan yang lebih mudah untuk didefinisikan dibandingkan dengan PRIME-MULT. (Perhatikan khususnya bahwa dalam PRIME-MULT, ada kemungkinan (walaupun untungnya dapat diabaikan) bahwa benih gagal menghasilkan P , Q yang prima.)
Setidaknya di dua tempat berbeda (Arora-Barak, Kompleksitas Komputasi, halaman 177, catatan kaki 2) dan ( Pengantar Vadhan untuk catatan kuliah Kriptografi ) disebutkan bahwa INTEGER-MULT adalah satu arah dengan asumsi kekerasan rata-rata dari anjak piutang. Namun, tidak satu pun dari keduanya memberikan alasan atau referensi untuk fakta ini.
Jadi pertanyaannya adalah:
Bagaimana kita dapat mengurangi di polinomial waktu anjak dari dengan probabilitas nonnegligible untuk pembalik INTEGER-MULT dengan probabilitas nonnegligible?
Berikut adalah pendekatan yang mungkin (yang akan kita lihat TIDAK bekerja!): Diberikan , kalikan N dengan banyak (meskipun secara polinomi) bilangan bulat acak A ′ lebih lama untuk mendapatkan A = N A ′ . Idenya adalah bahwa A ' adalah begitu besar bahwa ia memiliki banyak faktor prima dari ukuran kira-kira sama dengan P , Q , sehingga P , Q tidak "menonjol" di antara faktor prima dari A . Kemudian A memiliki kira-kira distribusi bilangan bulat acak seragam pada rentang tertentu (katakan [ 0 ). Selanjutnya pilih integer B secara acak dari kisaran yang sama [ 0 , 2 n - 1 ] .
Sekarang jika sebuah inverter untuk INTEGER-MULT dapat, diberi , dengan beberapa probabilitas menemukan A ′ , B ′ < 2 n sehingga A ′ B ′ = A B , harapannya adalah bahwa salah satu dari A ′ atau B ′ berisi P sebagai faktor dan yang lainnya mengandung Q . Jika itu terjadi, kita dapat menemukan P atau Q dengan mengambil FPB dari A ' dengan N = P Q .
Masalahnya adalah bahwa inverter dapat memilih untuk memisahkan faktor-faktor prima, misalnya, menempatkan faktor-faktor kecil di A ′ dan yang besar di B ′ , sehingga P dan Q berakhir di A ′ atau keduanya di B ′ .
Apakah ada pendekatan lain yang berhasil?