Mengurangi anjak piutang produk utama menjadi anjak produk bilangan bulat (rata-rata)


10

Pertanyaan saya adalah tentang kesetaraan keamanan berbagai fungsi kandidat satu arah yang dapat dibangun berdasarkan kekerasan anjak piutang.

Dengan asumsi masalah

FAKTOR: [Diberikan untuk bilangan prima acak P , Q < 2 n , temukan P , Q. ]N=PQP,Q<2nPQ

tidak dapat dipecahkan dalam waktu polinomial dengan probabilitas yang tidak dapat diabaikan, fungsinya

PRIME-MULT: [Diberikan bit string sebagai input, gunakan x sebagai seed untuk menghasilkan dua bilangan prima acak P dan Q (di mana panjang P , Q hanya lebih kecil secara polinomi dari panjang x ); kemudian output P. Q. ]xxPQPQxPQ

dapat ditampilkan sebagai satu arah.

Kandidat fungsi satu arah lainnya adalah

INTEGER-MULT: [Diberikan bilangan bulat acak sebagai input, output A B. ]A,B<2nAB

INTEGER-MULT memiliki keunggulan yang lebih mudah untuk didefinisikan dibandingkan dengan PRIME-MULT. (Perhatikan khususnya bahwa dalam PRIME-MULT, ada kemungkinan (walaupun untungnya dapat diabaikan) bahwa benih gagal menghasilkan P , Q yang prima.)xP,Q

Setidaknya di dua tempat berbeda (Arora-Barak, Kompleksitas Komputasi, halaman 177, catatan kaki 2) dan ( Pengantar Vadhan untuk catatan kuliah Kriptografi ) disebutkan bahwa INTEGER-MULT adalah satu arah dengan asumsi kekerasan rata-rata dari anjak piutang. Namun, tidak satu pun dari keduanya memberikan alasan atau referensi untuk fakta ini.

Jadi pertanyaannya adalah:

Bagaimana kita dapat mengurangi di polinomial waktu anjak dari dengan probabilitas nonnegligible untuk pembalik INTEGER-MULT dengan probabilitas nonnegligible?N=PQ

Berikut adalah pendekatan yang mungkin (yang akan kita lihat TIDAK bekerja!): Diberikan , kalikan N dengan banyak (meskipun secara polinomi) bilangan bulat acak A ′ lebih lama untuk mendapatkan A = N A . Idenya adalah bahwa A ' adalah begitu besar bahwa ia memiliki banyak faktor prima dari ukuran kira-kira sama dengan P , Q , sehingga P , Q tidak "menonjol" di antara faktor prima dari A . Kemudian A memiliki kira-kira distribusi bilangan bulat acak seragam pada rentang tertentu (katakan [ 0N=PQNAA=NAAP,QP,QAA ). Selanjutnya pilih integer B secara acak dari kisaran yang sama [ 0 , 2 n - 1 ] .[0,2n1]B[0,2n1]

Sekarang jika sebuah inverter untuk INTEGER-MULT dapat, diberi , dengan beberapa probabilitas menemukan A , B < 2 n sehingga A B = A B , harapannya adalah bahwa salah satu dari A atau B berisi P sebagai faktor dan yang lainnya mengandung Q . Jika itu terjadi, kita dapat menemukan P atau Q dengan mengambil FPB dari A ' dengan N = P Q .ABA,B<2nAB=ABABPQPQAN=PQ

Masalahnya adalah bahwa inverter dapat memilih untuk memisahkan faktor-faktor prima, misalnya, menempatkan faktor-faktor kecil di A dan yang besar di B , sehingga P dan Q berakhir di A atau keduanya di B .ABABPQAB

Apakah ada pendekatan lain yang berhasil?


dapatkah kita mengurangi kemungkinan kegagalan agar INT-FACT menjadi kecil secara eksponensial dan kemudian menggunakan kepadatan bilangan prima untuk mengatakan bahwa itu tidak akan gagal pada sebagian besar produk dari dua bilangan prima?
Kaveh

2
Jika kita dapat membalikkan INTEGER-MULT untuk semua instance kecuali sebagian kecil dari instance, secara ekspektasi produk FAKTOR dari primes akan mudah. Tapi saya tidak tahu cara mendapatkan inverter yang kuat dari inverter yang lemah.
Omid Etesami

1
Kebalikan (entah bagaimana) dari masalah ini telah dibahas di sini .
MS Dousti

Jawaban:


4

Ini sebenarnya bukan jawaban, namun menyoroti kesulitan menunjukkan pengurangan seperti itu.


AnccNnAAnnddN

AN N=PQRPQn/4Rn/2NPQRAnA

k

2k/ln(2k)2k1/ln(2k1)=Θ(2k/k)

n

Θ(2n/4/(n/4))2Θ(2n/2/(n/2))2n1=Θ(n3)

n

AAnnddN

APQ

Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.