Sensitivitas Properti Grafik

Dalam [1], Turan menunjukkan bahwa sensitivitas (disebut "kompleksitas kritis" di kertas) properti grafik benar-benar lebih besar dari manaadalah jumlah simpul dalam grafik. Dia melanjutkan dengan dugaan bahwa setiap properti grafik non-sepele memiliki sensitivitas. Dia menyebutkan bahwa ini telah diverifikasi untuk. Apakah ada kemajuan yang dibuat pada dugaan ini? $\lfloor {1\over 4} m \rfloor$ $m$ $\geq m-1$ $m \leq 5$

Latar Belakang

Biarkan menjadi string biner dalam . Tentukan untuk menjadi string yang diperoleh dari dengan membalik bit . Untuk fungsi boolean \ to , tentukan sensitivitas pada sebagai $x$ $\{0,1\}^n$ $x^i$ $1 \leq i \leq n$ $x$ $i^{th}$ $f: \{0,1\}^n$ $\{0,1\}$ $f$ $x$ . Akhirnya, menentukansensitivitasdari sebagai $s(f;x) := |\{i : f(x) \neq f(x^i) \}|$ $f$ . $s(f) := \mbox{max}_x\; s(f;x)$

Properti grafik adalah koleksi grafik sehingga jika dan adalah isomorfik ke kemudian . Kami bisa memikirkan properti grafik sebagai penyatuan sifat di mana adalah bagian dari yang terdiri dari grafik dengan simpul. Selanjutnya, kita bisa membayangkan properti grafik sebagai fungsi boolean pada di mana $\mathcal P$ $G \in \mathcal P$ $G'$ $G$ $G' \in \mathcal P$ $\mathcal P$ $\mathcal P_m$ $\mathcal P_m$ $\mathcal P$ $m$ $\mathcal P_m$ $\{0,1\}^n$ . Kita dapat menyandikan grafik padasimpuldalam vektor biner dengan panjang; setiap entri dalam vektor sesuai dengan sepasang simpul dan entri adalahjika tepi itu ada dalam grafik. Dengan demikian, sensitivitas properti grafik adalah sensitivitasnyafungsiquaboolean. $n = {m \choose 2}$ $m$ $n$ $1$

Turan, G., Kompleksitas kritis properti grafik, Information Processing Letters 18 (1984), 151-153.

graph-theory property-testing

— mhum
sumber

Pernahkah Anda melihat survei tahun 2002 oleh Buhrman dan de Wolf ( homepages.cwi.nl/~rdewolf/publ/qc/dectree.ps )? itu tidak menjawab pertanyaan Anda secara langsung, tetapi memiliki informasi lebih lanjut tentang sensitivitas fungsi secara umum, dan juga untuk properti grafik monoton.

— Suresh Venkat

kebutuhan pengkodean

bit

((\binom{m}{2}) + 1) \log m

$(\binom{m}{2}+1)\log m$

— Diego de Estrada

Survei yang ditunjuk Suresh untuk memunculkan makalah oleh Wegener [1] yang sebagian mengkonfirmasi dugaan tersebut. Ini berlaku untuk semua properti grafik monoton dan ketidaksamaannya sangat ketat (pertimbangkan properti "Tidak memiliki simpul terisolasi"). Hasil yang lebih baru akan dihargai juga.

Wegener, L. Kompleksitas kritis semua fungsi (monoton) Boolean dan properti grafik monoton. Informasi dan Kontrol , 67: 212-222, 1985.

— mhum
sumber