Diberikan grafik, putuskan apakah konektivitas tepinya setidaknya n / 2 atau tidak

Bab 1 buku Metode Probabilistik, oleh Alon dan Spencer menyebutkan masalah berikut:

Diberikan grafik , putuskan apakah konektivitas tepinya setidaknya atau tidak. $G$ $n/2$

Penulis menyebutkan adanya sebuah algoritma oleh Matula dan meningkatkan ke . $O(n^3)$ $O(n^{8/3}\log n)$

Pertanyaan saya adalah, apa waktu berjalan paling dikenal untuk masalah ini?

Biarkan saya menggambarkan algoritma yang ditingkatkan.

Pertama, putuskan apakah memiliki tingkat minimum setidaknya atau tidak. Jika tidak, maka konektivitas tepi jelas kurang dari . $G$ $n/2$ $n/2$

Selanjutnya, jika bukan itu masalahnya, hitung himpunan dominan dari ukuran . Ini dapat dilakukan dalam waktu , dengan suatu algoritma yang dijelaskan dalam bagian buku sebelumnya. $U$ $G$ $O(\log n)$ $O(n^2)$

Selanjutnya, ia menggunakan hal-hal berikut yang tidak terlalu sulit untuk membuktikan fakta:

Jika derajat minimum adalah , maka untuk setiap pemotongan tepi paling banyak yang membagi menjadi dan , setiap rangkaian mendominasi harus memiliki simpulnya dalam dan . $\delta$ $\delta$ $V$ $V_1$ $V_2$ $G$ $V_1$ $V_2$

Sekarang perhatikan himpunan dominan . Sejak memiliki minimal gelar , setiap potong tepi ukuran kurang dari juga harus memisahkan . Jadi untuk setiap , kami menemukan ukuran potongan tepi terkecil yang memisahkan dan . Masing-masing dari hal-hal ini dapat dilakukan dalam waktu $U = \{u_1, \ldots , u_k\}$ $G$ $n/2$ $n/2$ $U$ $i\in \{2, k\}$ $u_1$ $u_i$ menggunakan algoritma max-flow. Jadi total waktu yang diambil adalah . $O(n^{8/3})$ $O(n^{8/3}\log n)$

ds.algorithms open-problem graph-algorithms

— Vinayak Pathak
sumber

Btw, tentu saja peningkatan dalam algoritma max-flow akan mengarah ke peningkatan di sini juga. Tapi kurasa

adalah algoritma max-aliran yang paling dikenal saat ini?

O (n^{8 / 3})

$O(n^{8/3})$

— Vinayak Pathak

Mungkin saya salah mengerti sesuatu, tetapi bukankah algoritma mincut acak Karger-Stein telah menjalankan waktu

\tilde{O} (n^{2})

$\tilde{O}(n^2)$

— Sasho Nikolov

Apakah

waktu berjalan yang diharapkan? Algoritma yang saya jelaskan sepenuhnya deterministik.

O (n^{2})

$O(n^2)$

— Vinayak Pathak

Algoritma ini adalah Monte Carlo: selalu lengkap dalam waktu

dan mengeluarkan potongan minimum dengan probabilitas tinggi. Probabilitas kegagalan tergantung terbalik pada waktu berjalan, tentu saja. Maaf, mengingat bahwa kutipan Anda adalah Alon-Spencer, saya hanya berasumsi bahwa algoritma ini diacak :)

\tilde{O} (n^{2})

$\tilde{O}(n^2)$

— Sasho Nikolov

Jika Anda mencari algoritma deterministik saya pikir Anda harus menentukan itu dalam pertanyaan. Saya tidak mengetahui algoritma deterministik yang lebih baik daripada

untuk min cut (lihat Stoer-Wagner untuk algoritma mudah yang mencapai waktu berjalan ini). Sangat menarik betapa jauh lebih baik kita dapat melakukan deterministik untuk masalah yang Anda tentukan (8/3 dalam eksponen tampaknya tidak wajar untuk ikatan terbaik, tetapi siapa yang tahu).

O (m n + n^{2} \log n)

$O(mn + n^2\log n)$

— Sasho Nikolov

$n/2$ $n/2$ $n/2$ $X$ $\bar X$ $x := |X| \leq n/2$ $X$ $x - 1$ $X$ $n/2 - (x - 1)$ $x (n/2 - x + 1)$ $x (n/2 - x + 1) \geq n/2$ , which is true since $(x - 1)(n/2 - x) \geq 0$ .

Strangely enough, the only reference I find to this result is this from a bioinformatics conference. I'd be really curious to see whether it has been proven somewhere else.

Edit: An earlier reference is: Gary Chartrand: A Graph-Theoretic Approach to a Communications Problem, SIAM J. Appl. Math. 14-4 (1966), pp. 778-781.

— Falk Hüffner
sumber