Apa kompleksitas (pada RAM bilangan bulat standar) komputasi standar diskrit Fourier transform dari vektor bilangan bulat?
Algoritma klasik untuk transformasi Fourier cepat , yang tidak tepat [1] dikaitkan dengan Cooley dan Tukey, biasanya digambarkan sebagai berjalan dalam waktu . Tapi sebagian besar operasi aritmatika dieksekusi dalam algoritma ini mulai dengan kompleks th akar kesatuan, yang (untuk sebagian besar ) tidak rasional, evaluasi sehingga tepat dalam waktu yang konstan tidak masuk akal. Masalah yang sama muncul dengan algoritma waktu -naif (dikalikan dengan matriks Vandermonde dari akar kompleks persatuan).n n O ( n 2 )
Bahkan tidak jelas bagaimana merepresentasikan output DFT dengan tepat (dalam bentuk apa pun yang bermanfaat). Dengan kata lain, tidak jelas bahwa komputasi DFT sebenarnya mungkin!
Jadi anggaplah kita hanya membutuhkan bit presisi di setiap nilai output. Apa kompleksitas menghitung transformasi Fourier diskrit, sebagai fungsi dari dan ? (Untuk konkret, jangan ragu untuk menganggap adalah kekuatan )n b n 2
Atau apakah setiap contoh "FFT" dalam literatur sebenarnya berarti " transformasi bilangan- cepat "? [2]
Lihat pertanyaan terkait saya tentang kompleksitas eliminasi Gaussian dan jalur terpendek Euclidean .
[1] Ini harus benar-benar disebut (beberapa awalan) algoritma Gauss-Runge-König-Yates-Stumpf-Danielson-Lánczos-Cooley-Tukey.
[2] Dan jika demikian, mengapa sebagian besar buku teks hanya menggambarkan algoritma bilangan kompleks?