Varian dari SAT kritis di DP

Bahasa $L$ ada di kelas $DP$ jika ada dua bahasa $L1 \in NP$ dan $L2 \in coNP$ sehingga $L = L1 \cap L2$

Sebuah kanonik $DP$ masalah -Lengkap adalah SAT-UNSAT: diberikan dua ekspresi 3-CNF, $F$ dan $G$ , apakah benar bahwa $F$ adalah satisfiable dan $G$ tidak?

Kritis SAT masalah juga dikenal $DP$ -Lengkap: Mengingat ekspresi 3-CNF $F$ , apakah benar bahwa $F$ adalah unsatisfiable tapi menghapus klausul setiap membuat satisfiable?

Saya sedang mempertimbangkan varian berikut dari masalah SAT Kritis: Diberikan ekspresi 3-CNF $F$ , apakah benar $F$ memuaskan tetapi menambahkan klausa 3 (dari $F$ tetapi menggunakan variabel yang sama dengan $F$ ) membuatnya tidak memuaskan? Tetapi saya tidak berhasil menemukan pengurangan dari SAT-UNSAT atau bahkan membuktikan itu adalah $NP$ atau $coNP$ hard.

Pertanyaan saya: apakah varian ini DP-lengkap?

Terima kasih atas jawaban anda

— Xavier Labouze
sumber

Saya tidak mengetahui DP: kelas yang menarik, terutama jika CRITICAL-SAT selesai untuk itu.

— Suresh Venkat

Jika ada dua assigments yang memuaskan

, maka

tidak maksimal. (menganggap bahwa mereka berbeda pada variabel

, maka

tidak tersirat oleh rumus dan menambahkannya atau klausa yang mengandungnya tidak akan mengubah kepuasan). Jika kita dapat menemukan klausa yang tidak tersirat oleh rumus dalam waktu polinomial, kita dapat menambahkannya negasi ke rumus dan hanya menggunakan aturan unit klausa. Akhirnya kita akan menemukan nilai semua variabel untuk penugasan yang memuaskan. Maka kita hanya perlu memeriksa apakah rumus itu setara dengan rumus kanonik untuk tugas itu.

τ \neq τ^{'} ⊨ φ

$\tau\neq\tau' \vDash \varphi$

φ

$\varphi$

p

$p$

p

$p$

— Kaveh

@ Kaveh: Saya salah paham pertanyaan halus Anda. Dalam versi pertanyaan Anda, "tidak ada klausa yang tidak tersirat oleh rumus dan dapat ditambahkan tanpa membuatnya tidak memuaskan" setara dengan kondisi bahwa hanya ada satu tugas yang memuaskan, dan itu adalah standar AS - menyelesaikan (karena itu coNP-hard) masalah.

— Tsuyoshi Ito

Xavier: Anda benar karena bahasa dalam versi @ Kaveh adalah bagian dari bahasa dalam versi Anda. Tapi itu tidak menyiratkan reducibilitas antara dua masalah (di kedua arah). Ingatlah bahwa pengurangan harus memetakan instance ya ke instance ya dan tidak ada instance ke no-instance.

— Tsuyoshi Ito

Maaf, saya menulis di arah yang berlawanan. Bahasa dalam versi Anda adalah subset dari bahasa dalam versi Kaveh.

— Tsuyoshi Ito

Jawaban:

[Aku membuatnya menjadi jawaban yang tepat tapi seseorang memberikannya -1]

Jika ada klausa yang diizinkan untuk ditambahkan, maka bahasa tersebut kosong - jelas untuk setiap rumus memuaskan Anda dapat menambahkan 3 klausa terdiri dari variabel yang tidak muncul dalam : akan memuaskan. $F$ $c$ $F$ $F \cup \{ c \}$

Jika klausa yang ditambahkan harus menggunakan variabel , maka bahasa tersebut dalam P. $F$

Pembenaran adalah sebagai berikut:

Mengambil , yaitu dan untuk setiap 3-klausul pada variabel , . Katakan , di mana adalah literal. Karena adalah UNSAT, semua model harus memiliki $F \in L$ $F \in SAT$ $c$ $F$ $F \cup \{c\} \in UNSAT$ $c = l_1 \lor l_2 \lor l_3 \notin F$ $l_i$ $F \cup \{ c \}$ $F$ (untuk ) - karena jika beberapa model memiliki misalnya , maka itu akan memenuhi dan . Sekarang, asumsikan ada klausa lain yang persis seperti , tetapi dengan satu atau lebih literal terbalik dan sedemikian sehingga , katakanlah $l_i=0$ $i=1,2,3$ $l_1=1$ $c$ $F \cup \{c\}$ $c'$ $c$ $c' \notin F$ $c' = \neg l_1 \lor l_2 \lor l_3$ . Maka dengan argumen yang sama semua model harus memiliki . Dengan demikian, kondisi yang diperlukan untuk adalah bahwa untuk setiap klausul ada tepat 6 klausul lainnya di yang menggunakan tiga variabel - memungkinkan panggilan subset 7-klausul tersebut blok . Perhatikan bahwa setiap blok menyiratkan tugas memuaskan unik untuk variabel-variabelnya. Ketika kondisi yang diperlukan ini terpenuhi, bisa secara unik memuaskan atau tidak memuaskan. Dua kasus dapat dibedakan dengan menguji apakah penugasan tersirat oleh blok $F$ $l_1 = 1$ $F \in L$ $c \in F$ $F$ $c$ $F$ $F$ $F$ bentrokan, yang jelas dapat dilakukan dalam waktu linier.

— Anton Belov
sumber

Pengamatan Anda pada dasarnya adalah: untuk mendapatkan jawabannya Ya, F harus mengandung tepat tujuh dari delapan klausa pada pilihan tiga variabel berbeda. Oleh karena itu menemukan tugas yang unik (atau mendeteksi inkonsistensi) mudah dilakukan dalam waktu polinomial.

— Tsuyoshi Ito

@Xavier: Kedua masalah ini mungkin terlihat serupa, tetapi pengamatan Anton menunjukkan bahwa keduanya sangat berbeda. Ini sangat umum dalam kompleksitas komputasi. Contoh umum termasuk perbandingan antara 2SAT dan 3SAT dan antara sirkuit Euler dan Hamilton.

— Tsuyoshi Ito

@Xavier - Jawaban Tayfun salah . Dia menunjukkan bahwa masalahnya ada di DP - tidak masalah, masalah dalam P secara otomatis di DP. Untuk menunjukkan bahwa masalahnya adalah DP-lengkap, ia harus menunjukkan pengurangan ke masalah DP-lengkap lainnya (misalnya varian pertama dari SAT Kritis). Saya mengirimkan hasil edit ke jawabannya, tetapi dalam antrian untuk "peer review".

— Anton Belov

@Anton: Mengedit jawaban yang diposting oleh pengguna lain secara drastis biasanya tidak disarankan. Jika menurut Anda jawaban Tayfun secara mendasar salah, Anda tidak boleh mencoba memperbaikinya dengan mengeditnya.

— Tsuyoshi Ito

Sangat jelas dari masalah SAT-UNSAT bahwa untuk satu formula Anda memeriksa apakah Anda memenuhi syarat untuk formula lainnya, Anda memeriksa tidak memuaskannya ... Dalam prpblem sat kritis asli Anda tidak menerima begitu saja bahwa formula boolean yang diberikan tidak memuaskan. Anda harus memeriksanya. Sama dengan versi Xavier, Anda harus memeriksa apakah formula boolean yang diberikan memuaskan.

— Tayfun Bayar

-1

Bolehkah saya mengajukan jawaban atas pertanyaan saya sendiri berkat komentar Anda: varian Critical SAT ada di P.

$F$ $F$ $F$

$F$ $F$

$F$

$F$ $F$ $F$ $F$ $F$ $F$

$F$ $F$ $F$ $F$ $F$ $F$ $F$ $F$ $F$

$F$ $F$

$F$ $\binom{n}{3}$ $\frac{n(n-1)(n-2)}{3}$ $n$

— Xavier Labouze
sumber

Anda menyusun ulang masalah asli sesuai keinginan Anda.

— Tayfun Bayar

Saya tidak yakin tentang versi 3-SAT. Dengan diberikannya formula Boolean dalam CNF dengan klausa M dan variabel N, JIKA M = (3 ^ N) - (2 ^ N) maka Formula Boolean yang diberikan tidak dapat dipastikan atau hanya memiliki SATU Solusi. Meski begitu, untuk memeriksa kepuasan pada saat itu masih NP. Tidak mungkin versi Anda ada di P.

— Tayfun Pay

@ Xavier: Jawaban ini sepertinya benar, tapi saya pikir itu sama dengan apa yang dilakukan Anton dalam jawabannya.

— Tsuyoshi Ito

@ Tsuyoshi, Anda benar, baru saja memperkenalkan Masalah 2 yang bagian pertamanya (menguji apakah suatu rumus berisi semua klausa yang tersirat) menarik minat saya - ngomong-ngomong, apakah Anda punya ide tentang kompleksitas bagian pertama ini?

— Xavier Labouze