Bantuan untuk masalah kombinatorial berikut?

Saya memiliki vektor bit, yang masing-masing terdiri oleh bit. Masing menunjukkan Mari dengan yang bit -th dari th vektor, . Setiap bit vektor tunduk pada batasan 2 berikut: $m$ $m$ $v_i[j]$ $j$ $i$ $i,j \in [1, m]$ $v_i$

$v_i[j] = 0\ \forall j \geq i$ .
$v_i[j] = 1\ \forall j < i - \frac{m}{log(m)}$ .
Bit yang tidak termasuk dalam batasan di atas dapat berupa atau , tetapi dalam kasus demikian jumlah paling banyak . $0$ $1$ $0$ $12$

Sekarang saya memiliki vektor bit lain , dari bit: awalnya semua bit ditetapkan untuk . Dengan "menerapkan ke " Maksud saya melakukan bitwise AND antara dan , dan kemudian menyimpan hasilnya dalam . Saya tertarik pada evolusi setelah aplikasi berulang vektor diberikan dalam input. $s$ $m$ $m$ $s$ $1$ $v_i$ $s$ $s$ $v_i$ $s$ $s$ $v_1, ..., v_m$

Mari kita sebut "aplikasi berulang" sebagai lintasan , dan mari kita tentukan lintasan seperti itu secara lebih formal. Lintasan adalah urutan yang disusun oleh paling banyak vektor (dipilih dari diberikan dalam input) sehingga jika ada dalam urutan, maka semua setelah itu harus memiliki . Jadi, misalnya, adalah lintasan, sedangkan tidak (karena ). $m$ $v_1, ..., v_m$ $v_i$ $v_j$ $j < i$ $<v_8, v_3>$ $<v_3, v_8, v_7>$ $8\geq3$

Jelas, ada lintasan yang berbeda. Biarkan . Misalkan untuk mengambil dan untuk membiarkannya menjalani lintasan : untuk setiap langkah dari lintasan , menempatkan nilai baru yang diambil oleh di . Kemudian ulangi proses yang sama untuk lintasan (selalu dimulai dari , dan selalu menempatkan setiap nilai baru dari di ). Kemudian lagi, sampai Anda mencoba semua lintasan . Pada akhirnya, himpunan akan berisi semua nilai yang mungkin $2^m$ $S=\emptyset$ $s = 1^m$ $T_1$ $T_1$ $s$ $S$ $T_2$ $s=1^m$ $s$ $S$ $2^m$ $S$ $s$ mungkin pernah menganggap diberi vektor dalam input.

Pertanyaan

Saya memiliki dalam input. Saya ingin tahu , Yaitu berapa banyak nilai yang berbeda mungkin pernah berasumsi. Tentu saja, saya ingin menghitung efisien, yaitu tanpa mencoba semua lintasan yang mungkin satu per satu. $v_i, ..., v_m$ $|S|$ $s$ $|S|$

Misalkan untuk menghapus 2 ^nd pembatasan vektor input. Bagaimana hal itu memengaruhi ? $|S|$

Lebih penting lagi, yang paling saya pedulikan adalah bagaimana tumbuh bersama . Apakah paling polinomial dalam ? Apakah paling sub-eksponensial dalam ? Atau apakah ada contoh buruk di mana harus eksponensial dalam ? $|S|$ $m$ $|S|$ $m$ $|S|$ $m$ $|S|$ $m$

Gambar berikut adalah contoh dengan : $m=17$ Contoh

Saya mengumpulkan data eksperimental untuk mencoba mencari tahu hubungan antara dan . Sejauh ini, percobaan tampaknya menunjukkan bahwa tumbuh lebih cepat dari dan lebih lambat dari . Namun, untuk saat ini data tersebut tidak memiliki banyak signifikansi: Saya hanya dapat melakukan tes hingga , jadi mungkin ada konstanta tersembunyi yang besar atau beberapa faktor lain yang memungkinkan hukum eksponensial terlihat seperti hukum polinomial untuk kecil. . Saya perlu bantuan dalam mencari tahu perilaku asimptotik dengan hormat $m$ $|S|$ $|S|$ $m^3$ $m^4$ $m = 90$ $m$ $|S|$ . $m$

co.combinatorics

— Giorgio Camerani
sumber

@Downvoter: Mengapa downvoting? Tolong motivasi.

— Giorgio Camerani

Bukankah lintasannya terlalu rumit? Anda bisa berbicara tentang himpunan bagian

{1 \dots m}

$\{1\ldots m\}$

— Peter Taylor

@ Peter: Ya lintasan tidak lebih dari subset dari

. Saya baru saja berpikir bahwa berbicara tentang lintasan akan memberikan gambaran yang lebih intuitif, "visual" dari masalahnya. Saya ingin menempatkan aksen pada evolusi vektor

, untuk menekankan fakta bahwa aku tertarik berapa banyak nilai yang berbeda dapat

berasumsi selama semua evolusi yang mungkin.

{1, . . ., m}

$\{1, ..., m\}$

s

$s$

s

$s$

— Giorgio Camerani

@Walter: Salah satu alasan yang memungkinkan untuk downvotes adalah judul pertanyaan, yang tidak membantu. Anda mungkin ingin mengulanginya sehingga tidak mengandung "bantuan" dan mungkin mengisyaratkan objek yang ingin Anda hitung. Bersulang!

— Michaël Cadilhac

@ MichaëlCadilhac: Ya, memang judulnya sangat generik. Mungkin saya akan mengubahnya menjadi sesuatu yang lebih "menarik" . Terima kasih atas petunjuk Anda, tepuk tangan!

— Giorgio Camerani

Saya telah memikirkan kembali ini dan ikatan awal saya benar. Dalam kasus terburuk, $|S| = \Theta(m \; 2^\frac{m}{\lg m})$

Bukti ada dalam dua bagian. Pertama, . Pertimbangkan kemungkinan nilaidari lintasan yang berakhir pada. Setiap bituntukadalah 0, dan setiap bituntuk $|S| = O(m \; 2^\frac{m}{\lg m})$ $s$ $v_x$ $s[j]$ $j \ge x$ $s[j]$ adalah 1. Oleh karena itu hanya ada $j < x - \frac{m}{\lg m}$ nilai-nilai yangdapat mengambil. Kalikan dengan jumlahdan kita memiliki batas atas. $2^\frac{m}{\lg m}$ $s$ $v_x$

Kedua, pertimbangkan

    0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
    0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
    0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
    0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
    0 0 0 0 0  1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 
    0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
    ...
    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 
    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0
     0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1
     0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
     0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

Saya tegaskan bahwa skema ini memberi Anda . Untuk setiap kolompertimbangkan juga $|S| = \Omega(m \; 2^\frac{m}{\lg m})$ $v_x$ kolom di sebelah kanannya. Masing-masing $(\frac{m}{\lg m}-2)$ kombinasi dari mereka memberikan yang berbeda, dan di masing-masingtop set bit adalah bit atas set, sehingga tidak ada penghitungan ganda antara yang berbeda. $2^{\frac{m}{\lg m}-2}$ $s$ $s$ $v_x$ $v_x$

— Peter Taylor
sumber

Terima kasih atas jawaban anda. Apakah Anda memiliki petunjuk apakah kendala ketiga (yaitu tidak lebih dari

nol) membuat perbedaan? Dengan kata lain, apakah Anda percaya bahwa membatasi nol paling banyak

menyiratkan bahwa jumlah nilai yang berbeda yang diperkenalkan oleh lintasan yang berakhir pada

jauh lebih kecil dari

(dengan "jauh lebih sedikit" Maksud saya tidak eksponensial dalam

)? Sensasi saya adalah bahwa itu tidak membuat perbedaan: bahkan jika kita membiarkan paling banyak

nol tampaknya kita dapat menghasilkan

12

$12$

12

$12$

v_{x}

$v_x$

2^{m / l o g m}

$2^{m/logm}$

m / l o g m

${m/logm}$

1

$1$

nilai yang berbeda untuk setidaknya satu

2^{m / l o g m}

$2^{m/logm}$

v_{x}

$v_x$

— Giorgio Camerani

@WalterBishop, contoh saya menggunakan tidak lebih dari 1 nol.

— Peter Taylor

Maaf saya sudah menguraikan jawaban dan contohnya terlalu cepat.

— Giorgio Camerani

@WalterBishop, walaupun jika Anda membatasi jumlah 1s sebagai gantinya (tidak lebih dari

dari nilai-nilai gratis dalam vektor dapat 1) Anda mendapatkan

k

$k$

| S | = O (m^{k + 1})

$|S| = O(m^{k+1})$

— Peter Taylor

Bagaimana Anda mendapatkan

dalam kasus seperti itu? Bagi saya, sepertinya dalam hal demikian kita akan memiliki

(karena

adalah konstan). Karena AND-ing 2 vektor,

dapat menjadi

tetapi

tidak bisa menjadi

: dengan demikian, terlepas dari kenyataan bahwa "jendela geser" kami memiliki

| S | = O (m^{k + 1})

$|S|=O(m^{k+1})$

| S | = O (m \cdot 2^{k}) = O (m)

$|S|=O(m \cdot 2^{k})=O(m)$

k

$k$

1

$1$

0

$0$

0

$0$

1

$1$

vektor, kita dapat menghasilkan paling

vektor yang berbeda untuk masing-masing

posisi"jendela geser". Apakah saya melewatkan sesuatu?

m / l o g m

$m/logm$

2^{k}

$2^k$

m

$m$

— Giorgio Camerani