Jumlah klik dalam grafik: hasil Bulan dan Moser 1965

10

Saya mencari teks lengkap hasil klik Bulan dan Moser 1965 Pada Klik di Grafik (ada grafik dengan jumlah klik maksimum yang eksponensial di ). Paywall universitas saya tidak memiliki akses ke jurnal tertentu. (Sebenarnya, pratinjau memberikan beberapa kalimat pertama dari buktinya, tetapi kemudian membiarkan saya tanpa sisanya!) $n$

Saya tertarik pada hasil ini terkait dengan arah penelitian yang saya kejar, tetapi arahnya telah sedikit berubah, jadi diakui minat saya sekarang semata-mata keingintahuan akademik.

Pertanyaanku adalah:

Apakah ada tautan ke teks lengkap kertas di suatu tempat ATAU kertas lain yang membuat sketsa bukti ATAU jika sketsa bukti cukup pendek untuk direproduksi di sini, apakah ada yang tahu? Juga, saya tertarik pada kelas grafik dengan jumlah klik eksponensial.

Saya menambahkan BibTeX untuk referensi:

@article {springerlink:10.1007/BF02760024,
   author = {Moon, J. and Moser, L.},
   affiliation = {University of Alberta Edmonton Canada},
   title = {On cliques in graphs},
   journal = {Israel Journal of Mathematics},
   publisher = {Hebrew University Magnes Press},
   issn = {0021-2172},
   keyword = {Computer Science},
   pages = {23-28},
   volume = {3},
   issue = {1},
   url = {http://dx.doi.org/10.1007/BF02760024},
   note = {10.1007/BF02760024},
   year = {1965}
}

— Josephine Moeller
sumber

1

Anda bisa mendapatkan halaman kedua di sini: mendeley.com/research/on-cliques-in-graphs/# :)

— Suresh Venkat

Argh! Terkutuklah kamu!

— Josephine Moeller

8

Ambil grafik lengkap pada simpul

dan hapus pasangan yang cocok; ada

klik maksimal.

2 n

$2n$

2^{n}

$2^n$

— Jukka Suomela

12

Batas bawah ketat yang sebenarnya adalah dengan menghapus satu set segitiga disjoint alih-alih yang cocok sempurna. Ini memberi

klik daripada

, sedikit lebih.

3^{n / 3}

$3^{n/3}$

2^{n / 2}

$2^{n/2}$

— David Eppstein

3

tolong jawab, bukan komentar.

— Suresh Venkat

17

Saya tidak memiliki salinan Moon & Moser di tangan, tetapi: jumlah maksimum klik maksimum yang berbeda dalam grafik -node (dengan ) adalah , , atau , sesuai dengan nilai mod 3. Saya pikir ini sedikit lebih mudah untuk melihat ini dalam bentuk komplementer penghitungan set independen maksimal. $n$ $n>1$ $3^{n/3}$ $4\cdot 3^{(n-4)/3}$ $2\cdot 3^{(n-2)/3}$ $n$

Batas bawah adalah apa yang sebenarnya Anda minta, dan sebagian besar sudah diberikan di komentar di atas: bentuk grafik dari penyatuan salinan dan , menggunakan sebanyak mungkin salinan . Setiap set independen maksimal memiliki tepat satu node dari masing-masing subgraph lengkap dari mana rumus berikut. $K_2$ $K_3$ $K_3$

Saya ingat bahwa bukti batas atas Bulan dan Moser melibatkan transformasi grafik ke dalam bentuk batas bawah (atau bentuk komplementer untuk klik-klik maksimal), pada setiap langkah tidak mengurangi jumlah set atau klik independen. Tapi ada cara berbeda untuk membuktikannya yang mengarah ke algoritma backtracking terburuk-kasus-optimal untuk daftar semua klik atau set independen (lihat misalnya makalah saya arXiv: cs / 0011009 ), yang saya hanya akan membuat sketsa di sini karena rinciannya adalah sedikit membosankan. Jika ada titik derajat tiga atau lebih dalam grafik yang diberikan , maka setiap set independen maksimal adalah set independen maksimal dalam atau itu termasuk $v$ $G$ $G$ $G\setminus v$ $v$ dan merupakan set independen maksimal grafik yang dibentuk dari dengan menghapus dan semua tetangganya. Dengan induksi (memasukkan formula untuk jumlah set independen dalam dua grafik yang lebih kecil ini, dengan beberapa analisis kasus mod 3) terikat berikut. Di sisi lain, jika tidak ada titik derajat tinggi ada maka grafik adalah gabungan jalur dan siklus, di mana seseorang dapat menghitung jumlah set independen secara langsung. $G$ $v$

— David Eppstein
sumber

Terima kasih banyak telah meluangkan waktu untuk menuliskan jawaban yang sangat rinci.

— Josephine Moeller

1

@ David Eppstein apakah Anda memiliki hasil yang sama untuk terikat pada jumlah maksimum k-plexs (di mana k-plex mirip dengan klik kecuali dari fakta bahwa setiap node dapat terputus dari paling banyak k node lain)

— user844541

7

Anda juga dapat mencari teorema Moon-Moser di buku Algoritma Exomin-Kratsch Exact

— vortk
sumber

6

Jawaban yang telah diberikan sejauh ini luar biasa. Saya pikir saya akan menambahkan beberapa referensi.

Teorema Moon-Moser dibuktikan secara independen oleh Miller dan Muller [1960] dalam sebuah laporan teknis.
Wood [2011] dan Vatter [2011] memberikan bukti yang lebih sederhana tentang Teorema, dengan menggunakan pendekatan yang digariskan oleh David.

Miller, RE dan Muller, DE 1960. Masalah himpunan bagian konsisten maksimum. Laporan Penelitian IBM RC-240, Pusat Penelitian JT Watson, Yorktown Heights, NY.

Vatter, V. 2011. Set independen maksimal dan penutup pemisah . Amerika Matematika Bulanan 118, 418-423.

Wood, DR 2011. Tentang jumlah set independen maksimal dalam grafik . CoRR abs / 1104.1243.

— Serge Gaspers
sumber

1

Möller meminta Moon dan Moser, Anda menjawab Miller dan Muller, dan sepotong dari Mathematical Monthly. Apa yang sedang terjadi?

— Pål GD

4

Berikut adalah salinan makalah 1965 oleh Moon dan Moser: http://users.monash.edu.au/~davidwo/MoonMoser65.pdf

Perhatikan bahwa hasilnya sebenarnya pertama kali dibuktikan pada tahun 1960 oleh Miller dan Muller: http://users.monash.edu.au/~davidwo/MillerMuller-NumberMaximalCliques.pdf

— pengguna26635
sumber