Kotak dengan entri yang kedekatannya tidak pernah diulang

Misalkan kita memiliki kuadrat, dan alfabet . Kami menempatkan elemen di setiap lokasi alun-alun. Suatu elemen dapat muncul di lebih dari satu lokasi. Kendala adalah bahwa pasangan tetangga (baik timur-barat satu sama lain, atau utara-selatan satu sama lain) hanya dapat muncul dalam konfigurasi itu sekali. $n \times n$ $\Gamma$ $\Gamma$ $a,b$

Contoh kotak terlarang:

abc
def
gde

Karena "de" muncul di baris kedua dan ketiga, entri dari persegi tidak dapat diterima. Masalah yang sama akan muncul jika, katakanlah, muncul di atas d di mana pun kecuali sudut kiri atas.

Mengingat , lebar kuadrat sebagai parameter, berapakah batas bawah pada ukuran alfabet ? $n$ $\Gamma$

Saya akan suka (saran ke arah) bukti langsung, tetapi juga, apakah jenis masalah mengisi persegi ini telah dipelajari? Saya tidak dapat menghubungkannya dengan salah satu kotak Latin, atau desain blok. Apakah peta ini ke objek kombinatorial yang sudah bernama?

(Catatan: ini terkait dengan pertanyaan saya sebelumnya tentang menghindari sebagian kata, tetapi pertanyaan itu hanya memerlukan penghindaran timur-barat, jadi untuk berbicara, sedangkan di sini saya perlu menghindari pengulangan utara-selatan juga.)

co.combinatorics

— Aaron Sterling
sumber

Jika saya memahami pertanyaan dengan benar, Anda tidak melarang "a" dan "b" muncul di sel yang berdekatan dua kali selama arahnya berbeda. Apakah ini yang Anda maksud?

— Tsuyoshi Ito

@ Tsuyoshi: Ya. "ab" di satu tempat, dan "ba" di tempat lain ok, termasuk jika mereka berada di baris yang sama, muncul sebagai "aba."

— Aaron Sterling

Sebagai catatan, satu-satunya referensi yang relevan yang dapat saya temukan adalah Kotak Latin yang Tidak Mengandung Digram Berulang dari tahun 1965 (!). Saya sedang mengkaji itu sekarang, dan mungkin memiliki teknik yang berguna, tetapi saya tidak ingin membatasi diri untuk kotak Latin.

— Aaron Sterling

Apakah Anda sudah memiliki beberapa hasil untuk nilai

? Misalnya, jika

, berapakah

sebesar mungkin yang dapat dicapai?

| Γ |

$|\Gamma|$

| Γ | = 3

$|\Gamma| = 3$

n

$n$

— Jukka Suomela

@Jukka: Mengingat hanya persyaratan tanpa-pengulangan timur-barat, saya dapat menunjukkan itu

melalui argumen penghitungan. Saya tidak yakin bagaimana pendekatan menambahkan pembatasan utara-selatan juga. Saya belum pernah mengerjakan contoh kecil, tetapi saya bisa melakukannya.

| Γ | \geq n - 2

$|\Gamma| \geq n-2$

— Aaron Sterling

Jawaban:

Versi lanjutan dari komentar saya:

Biarkan menjadi bilangan prima. Kemudian kita dapat membangun sebuah kuadrat dari tabel perkalian bilangan bulat modulo . Sebagai contoh, jika , kita punya $p = n+1$ $n \times n$ $p$ $p = 5$

Sekarang masing-masing pasangan dengan terjadi tepat satu kali. Demikian pula, setiap pasangan -above- dengan terjadi tepat satu kali. $ab$ $a \ne b$ $a$ $b$ $a \ne b$

$n$ $n \times n$

$n \times n$ $n(n-1)$ $n-1$ $(n-1)^2 < n(n-1)$

— Jukka Suomela
sumber

n

$n$

n

$n$

DIedit UNTUK MENAMBAH : Makalah Gilbert ternyata memiliki kepentingan historis, dan itu sepenuhnya memecahkan masalah yang saya tanyakan dalam pertanyaan saya. Silakan lihat entri blog saya untuk lebih jelasnya.

JAWABAN ASLI

Ternyata kertas yang saya temukan dari 1965, Kotak Latin Gilbert yang Mengandung No Digeat Digams , cukup membantu.

$n$ $n$ $|\Gamma| \leq n+1$ $n+1$

$3-1 \neq 2-3$ $2-1 = 3-2$

$ab$ $a \lozenge^k b$ $\lozenge$ $k$ $n-2$ $k$ $a \lozenge^k b$ $n+1=p$ $p$

$n$ $n$ $x \geq 396738$ $[x,x+ x/25 \ln^2 x]$ $n$ $|\Gamma| \leq n + n/25\ln^2 n$

— Aaron Sterling
sumber

n

$n$

@Jukka: Ya. Saya mungkin menulis entri blog tentang ini. Saya akan melakukan itu, atau menambah jawaban ini, atau keduanya, selama beberapa hari ke depan.

— Aaron Sterling