Apakah ada logika tanpa induksi yang menangkap banyak P?

The Immerman-Vardi teorema menyatakan bahwa PTIME (atau P) justru kelas bahasa yang dapat dijelaskan oleh hukuman Pertama-Order Logic bersama-sama dengan operator fixed-point, lebih kelas struktur memerintahkan. Operator titik tetap dapat berupa titik tetap paling tidak (seperti yang dipertimbangkan oleh Immerman dan oleh Vardi), atau titik tetap inflasi. (Stephan Kreutzer, kesetaraan ekspresif dari paling tidak dan logika fixed-point inflasi , Annals of Pure and Applied Logic 130 61-78, 2004).

Yuri Gurevich menduga bahwa tidak ada logika yang menangkap PTIME ( Logika dan Tantangan Ilmu Komputer , dalam Tren Saat Ini dalam Ilmu Komputer Teoretis, ed. Egon Boerger, 1–57, Computer Science Press, 1988), sedangkan Martin Grohe telah menyatakan dirinya kurang yakin ( The Quest for a Logic Capturing PTIME , FOCS 2008).

Operator titik tetap dimaksudkan untuk menangkap kekuatan rekursi. Poin-tetap sangat kuat, tetapi tidak jelas bagi saya bahwa itu perlu.

Apakah ada operator X yang tidak didasarkan pada titik tetap, sehingga FOL + X menangkap fragmen PTIME (besar)?

Sunting: Sejauh yang saya mengerti, logika linier hanya dapat mengekspresikan pernyataan tentang struktur yang memiliki bentuk yang cukup ketat. Saya idealnya ingin melihat referensi ke, atau sketsa, sebuah logika yang dapat mengekspresikan properti dari set acak struktur relasional, sambil tetap menghindari titik tetap. Jika saya salah tentang kekuatan ekspresif dari logika linier maka pointer atau petunjuk akan diterima.

Anda ingin melihat apa yang oleh sebagian orang disebut Teorema Grädel. Anda dapat menemukannya dalam buku Papadimitriou ini "Komputasi Kompleksitas" (itu Teorema 8.4 di halaman 176) atau dalam bahasa aslinya Gradel ini kertas .

Singkatnya, Teorema Grädel adalah untuk P apa Teorema Fagin adalah untuk NP. Ini menyatakan bahwa pada kelas struktur hingga dengan hubungan penerus, koleksi sifat decidable waktu polinomial bertepatan dengan yang diekspresikan dalam fragmen-Tanduk dari logika orde dua yang eksistensial. Ini adalah kalimat-kalimat logika orde kedua dari bentuk mana R adalah urutan variabel hubungan orde kedua, x adalah urutan variabel orde pertama, dan ϕ adalah kuantifier -gratis rumus itu, ketika ditulis dalam bentuk CNF, adalah gabungan dari

$$(\exists R)(\forall x)(\phi)$$ $R$$x$$\phi$$R$Klausa -Horn (yaitu klausa yang memiliki paling banyak satu atom yang tidak dinegasikan yang melibatkan variabel dalam ).$R$

Sejauh yang saya mengerti, logika linier hanya dapat mengekspresikan pernyataan tentang struktur yang memiliki bentuk yang sangat terbatas. Saya idealnya ingin melihat referensi ke, atau sketsa, sebuah logika yang dapat mengekspresikan properti dari set acak struktur relasional, sambil tetap menghindari titik tetap. Jika saya salah tentang kekuatan ekspresif dari logika linier maka pointer atau petunjuk akan diterima.

Ini tidak benar: semua kisi monoid komutatif residu adalah model logika linier. Berikut cara mudah untuk membuat kisi dari grafik hingga. Mulai dengan set

$$M = \{(g, n) \;|\; g\mbox{ is a finite graph and }n \subseteq \mathrm{nodes}(g)\}$$

Jadi relasi pemaksaan kita adalah , dan intuisinya adalah bahwa n adalah himpunan node yang "dimiliki" oleh rumus ϕ . Ada operasi parsial ( ⋅ ) : M × M → M , didefinisikan sebagai: $(g,n) \models \phi$$n$$\phi$$(\cdot) : M \times M \to M$

$$(g,n) \cdot (g',n') = \left\{\begin{array}{ll} (g, n \uplus n') & \mbox{when } g = g' \land n \cap n' = \emptyset \\ \mathrm{undefined} & \mbox{otherwise} \end{array}\right.$$

Ini menggabungkan dua elemen dengan menggabungkan set yang mereka miliki, jika grafiknya sama dan set yang dimiliki terpisah.

Sekarang, kita dapat memberikan model logika linier sebagai berikut:

$$\begin{array}{lcl} (g,n) \models I & \iff & n = \emptyset \\ (g,n) \models \phi \otimes \psi & \iff & \exists n_1,n_2.\; n = n_1 \uplus n_2 \mbox{ and } (g,n_1) \models \phi \mbox{ and } (g,n_2) \models \psi \\ (g,n) \models \phi \multimap \psi & \iff & \forall n'.\; \mbox{if } n \cap n' = \emptyset \mbox{ and } (g,n') \models \phi \mbox{ then } (g,n \uplus n') \models \psi \\ (g, n) \models \top & \iff & \mbox{always} \\ (g,n) \models \phi \land \psi & \iff & (g,n) \models \phi \mbox{ and } (g,n) \models \psi \end{array}$$

Model ini sebenarnya merupakan varian dari yang digunakan dalam logika pemisahan, yang banyak digunakan dalam verifikasi program manipulasi tumpukan. (Jika Anda suka, pikirkan grafik sebagai struktur penunjuk tumpukan, dan analoginya persis!)

Ini bukan cara yang benar untuk berpikir tentang logika linier, meskipun: intuisi sebenarnya adalah bukti-teoretis, dan koneksi ke kompleksitas datang melalui kompleksitas komputasi dari teorema cut-elimination. Teori model logika linier adalah bayangan yang dilontarkan oleh teori pembuktiannya.

Ada hasil menarik baru-baru ini mengenai pencarian logika menangkap PTIME. Contoh terkenal oleh Cai, Fürer dan Immerman menunjukkan bahwa LFP + C tidak menangkap PTIME didasarkan pada kelas grafik yang tampaknya buatan. Tentu saja, itu dibangun untuk tugas khusus menunjukkan pembatasan LFP + C. Baru-baru ini ditunjukkan oleh Dawar bahwa kelas itu tidak buatan sama sekali. Ini lebih dapat dilihat sebagai contoh untuk fakta bahwa LFP + C tidak dapat menyelesaikan sistem persamaan linear!

Oleh karena itu Dawar, Grohe, Holm dan Laubner memperluas logika oleh operator dari aljabar linier, misalnya oleh operator untuk menentukan peringkat dari matriks yang dapat didefinisikan. Logika LFP + rank yang dihasilkan dapat mengekspresikan secara ketat lebih dari LFP + C, pada kenyataannya, tidak ada properti PTIME yang diketahui yang tidak dapat diungkapkan oleh peringkat LFP +.

Bahkan FO + rk ternyata sangat kuat, ia dapat mengekspresikan penutupan transitif deterministik dan simetris. Masih terbuka apakah dapat mengekspresikan penutupan transitif umum dari suatu grafik.

Bergantung pada apa yang Anda maksud dengan "capture," Logic Linear Lembut dan Waktu Polinomial oleh Yves Lafont mungkin menarik. Ada korespondensi 1-1 untuk bukti dalam logika ini dan algoritma PTIME yang mengambil string sebagai input dan output 0 atau 1.

$C^*$

Beberapa pekerjaan yang lebih tua pada masalah ini, lagi-lagi dalam nada Linear Logic adalah, Jean-Yves Girard, Andre Scedrov, dan Philip Scott. Bounded linear logic: Suatu pendekatan modular untuk komputasi waktu polinomial. Theoretical Computer Science, 97 (1): 1–66, 1992.

Pekerjaan yang lebih baru termasuk Bounded Linear Logic, ditinjau kembali oleh Ugo Dal Lago dan Martin Hofmann.