Hubungan antara simetri dan intraktabilitas komputasi?

The titik -Tetap masalah automorphism bebas meminta grafik automorphism yang bergerak setidaknya node. Masalahnya adalah -complete jika untuk > 0.$k$N P k ( n ) = n c$k(n)$$NP$$k(n)=n^c$$c$

Namun, jika maka masalahnya adalah waktu polinomial Turing yang dapat direduksi menjadi Graph Isomorphism Problem. Jika k ( n ) = O ( log n / log log n ) maka masalahnya adalah waktu polinom Turing-ekuivalen dengan masalah Automorfisme Grafik yang ada di N P I dan tidak diketahui sebagai N P -complete. Masalah Graph Automorphism adalah Turing yang dapat direduksi menjadi masalah Graph Isomorphism.$k(n)=O(\log n)$$k(n)=O(\log n/\log \log n)$$NPI$$NP$

Tentang Kompleksitas Menghitung Jumlah Verteks yang Dipindahkan oleh Grafik Automorfisme, Antoni Lozano dan Yayasan Teknologi Perangkat Lunak Vijay Raghavan , LNCS 1530, hlm. 295–306

Tampak bahwa kekerasan komputasi meningkat ketika kita meningkatkan simetri objek yang ingin kita temukan (seperti yang ditunjukkan oleh jumlah node yang harus digerakkan oleh automorfisme). Tampaknya ini dapat menjelaskan kurangnya pengurangan waktu polinomial Turing dari versi NP-lengkap ke Graph Automorphism (GA)

Apakah ada contoh lain dari masalah sulit yang mendukung hubungan antara simetri dan kekerasan ini?

Ini bukan hubungan yang "sama" antara simetri dan kekerasan, tetapi ada hubungan erat antara simetri fungsi Boolean dan kompleksitas sirkuitnya. Lihat:

Babai, L., Beals, R., dan Takácsi-Nagy, P. Simetri dan kompleksitas , STOC 1992.

Inilah yang mereka tunjukkan. Biarkan menjadi urutan grup permutasi. Misalkan s ( G i ) menunjukkan jumlah orbit G i dalam tindakan yang diinduksi pada { 0 , 1 } i (dengan permutasi koordinat). Misalkan F ( G ) menunjukkan kelas bahasa L sedemikian sehingga L ∩ { 0 , 1 } n adalah invarian di bawah G n . Lalu semua bahasa dalam $G_{i} \leq S_{i}$$s(G_{i})$$G_{i}$$\{0,1\}^{i}$$\mathcal{F}(G)$$L$$L \cap \{0,1\}^{n}$$G_{n}$ memiliki ukuran sirkuit paling banyak p o l y ( s ( G ) ) dan kedalaman paling banyak p o l y ( log ( s ( G ) ) , dan ini pada dasarnya ketat.$\mathcal{F}(G)$$poly(s(G))$$poly(\log(s(G))$

Di arah berlawanan, beberapa masalah yang set saksi memiliki banyak simetri berakhir menjadi di c o A M (seperti G I ), dan sehingga tidak N P -Lengkap kecuali P H runtuh. Bahkan, kertas menunjukkan berikut yang N P masalah yang saksi set memiliki banyak simetri rendah untuk P P :$NP$$coAM$$GI$$NP$$PH$$NP$$PP$

Arvind, V., Vinodchandran, NV Kompleksitas penghitungan bahasa yang dapat ditentukan kelompok . Teoritis Komputasi. Sci. 242 (2000), no. 1-2, 199--218.

$PP$$NP$$PP^{PH} \subseteq BP \cdot PP$$BP \cdot PP = PP$$NP$$PP$$PP$$NP$-lengkap. Di sisi lain, ada oracle karena Beigel relatif terhadap yang tidak rendah untuk P P .)$NP$$PP$

Dalam nada yang sama seperti di atas, jika setiap hubungan ekuivalen waktu polinomial-waktu yang dapat ditentukan memiliki invarian lengkap waktu polinomial (fungsi sedemikian sehingga f ( x ) = f ( y ) iff x ∼ y ), maka setiap masalah N P yang saksinya memiliki banyak simetri yang mengurangi masalah subkelompok tersembunyi untuk kelompok automorfisme dari para saksinya. Memang, hipotesis di sini agaknya tidak berlaku, tetapi itu memang memberikan beberapa hubungan antara simetri dan kompleksitas kuantum.$f$$f(x) = f(y)$$x \sim y$$NP$

Akhirnya, program Teori Kompleksitas Geomektrik Mulmuley-Sohoni pada dasarnya adalah tentang menggunakan simetri untuk membuktikan kekerasan, meskipun koneksi simetri-kekerasan ada yang lebih halus dan tidak langsung.

Contoh SAT terstruktur, yang menunjukkan banyak simetri, tampaknya lebih mudah untuk dipecahkan daripada instance SAT acak. Pengkodean masalah dunia nyata ke dalam SAT selalu memberi kenaikan pada instance terstruktur (yang tidak mengejutkan, karena masalah dunia nyata yang kita hadapi memiliki simetri). Solver SAT lengkap terbaik mampu secara efisien memecahkan contoh dunia nyata dengan sebanyak 1.000.000 variabel, tetapi tidak ada dari mereka, sejauh yang saya tahu, mampu secara efisien memecahkan contoh acak dengan, katakanlah, 10.000 variabel (pada Edward A. Hirsch beranda itu mungkin untuk menemukan beberapa contoh acak kecil yang mengejutkan, yang bahkan dapat memecahkan solver SAT terbaik). Jadi, dari sudut pandang empiris, kehadiran simetri tampaknya mengurangi kekerasan.