Kekerasan mendekati angka kromatik fraksional pada grafik derajat terbatas


Jawaban:


11

Iya.

Jika saya mengerti dengan benar, bukti Teorema 1.6 dalam Khot (2001) menetapkan bahwa NP-sulit untuk membedakan antara dua kasus berikut, bahkan jika kita fokus pada grafik tingkat-terikat dari tingkat yang cukup tinggi:

  1. Ada warna- .k
  2. Rasio jumlah simpul dengan ukuran maksimum dari set independen adalah setidaknya .kcatatan(k)/25

Dari perspektif bilangan kromatik fraksional, kedua kasus ini adalah:

  1. Jumlah kromatik fraksional paling banyak .k
  2. Angka kromatik fraksional setidaknya adalah .kcatatan(k)/25

Sekarang kita harus ingat bahwa kita membutuhkan derajat yang cukup tinggi (sebagai fungsi dari ). Tetapi sejauh yang saya bisa lihat, buktinya memiliki, misalnya, akibat wajar nyaman berikut yang mungkin sudah cukup untuk tujuan Anda:k

  • Diberikan konstanta , ada konstanta Δ dan c sehingga masalah berikut dalam NP-hard: diberi grafik G dengan derajat maksimum Δ , putuskan apakah angka kromatik fraksional G paling banyak c atau setidaknya α c .αΔcGΔGcαc

Tentu saja ini sudah menyiratkan bahwa tidak ada PTAS, kecuali P = NP.


Tentunya akibat wajar terakhir memiliki beberapa pengubah lain pada konstanta, jika tidak ini sangat terkenal untuk nilai kecil , c 1 , dan c 2 ...Δc1c2
Andrew D. King

@ AndrewD.King: Benar, Anda dapat membuat salah satu dari mereka besar secara sewenang-wenang, dll. Tapi mungkin Anda dapat memposting jawaban yang menunjukkan bahwa versi sederhana dari akibat wajar dapat diturunkan dengan menggunakan teknik yang lebih lama dan lebih mudah - saya pikir itu sudah menjadi cukup untuk menjawab pertanyaan OP?
Jukka Suomela

kΔc1c2kc1<c2

@ AndrewD.King: Ya, saya akan mengedit jawabannya; semoga akan lebih masuk akal seperti itu. :)
Jukka Suomela
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.