Apa perkiraan terbaik untuk suara terbanyak?

Operasi suara terbanyak muncul cukup sering di toleransi kesalahan (dan tidak diragukan lagi tempat lain), di mana fungsi output sedikit sama dengan nilai yang pernah muncul paling sering dalam nilai bit input. Untuk kesederhanaan, mari kita asumsikan bahwa setiap kali input berisi jumlah bit yang sama dalam keadaan 0 dan menyatakan 1, output 0.

Hal ini dapat digeneralisasi ke dits di mana terdapat lebih dari 2 kemungkinan untuk setiap input dengan mengembalikan nilai yang paling sering terjadi pada input, dan dalam kasus seri, mengembalikan nilai yang paling sering yang muncul lebih dulu secara leksikografis. Sebut saja fungsi ini "suara jamak".

Saya tertarik pada output dari fungsi seperti itu ketika setiap input memiliki distribusi probabilitas tetap (dan distribusinya sama untuk masing-masing yang dit dalam input). Secara khusus saya peduli dengan pertanyaan berikut.

Diberikan himpunan , jika himpunan tersebut diambil secara acak sebanyak kali, dengan probabilitas untuk memilih elemen dari setiap kali, untuk pilihan tetap dari berapa probabilitas bahwa suara pluralitas dari keluaran ini ? $S=\{S_1, S_2,... ,S_n\}$ $N$ $p_i$ $i^{th}$ $S$ $v$ $S_v$

Sekarang, langsung menghitung jawaban yang tepat untuk pertanyaan di atas sebagai jumlah dari distribusi multinomial. Namun, untuk tujuan saya, ini kurang dari ideal, dan pendekatan tertutup akan lebih baik. Jadi pertanyaan saya adalah:

Apa perkiraan bentuk tertutup dari probabilitas di atas yang memiliki ikatan paling ketat pada jarak maksimum dari nilai pastinya?

co.combinatorics

— Joe Fitzsimons
sumber

Saya tidak tahu, tetapi saya akan menyarankan frasa pencarian, "konsensus teori kontrol" atau "masalah konsensus teori kontrol." Ini adalah masalah yang berbeda dari masalah konsensus komputasi terdistribusi, dan mungkin apa yang Anda butuhkan.

— Aaron Sterling

Apakah Anda mencari perkiraan yang berfungsi dengan baik ketika N besar dibandingkan dengan n? Jika demikian, aturan tie-breaking harus tidak relevan.

— Tsuyoshi Ito

@ TsuyoshiIto: Ya, benar, dan memang aturan itu tidak relevan, tapi saya ingin memastikan pertanyaannya diajukan dengan baik. Saya tidak begitu peduli tentang bagaimana ikatan putus, karena mudah untuk mengikat perbedaan itu.

— Joe Fitzsimons

Y_{i}

$Y_i$

S_{i}

$S_i$

Y_{v}

$Y_v$

Y_{v}

$Y_v$

$p_v > p_i$ $i \ne v$

P r [outcome is different from v] \leq min_{T} (P r [B (N, p_{v}) \leq T] + P r [\forall i \neq v B (N, p_{i}) \geq T]),

$\mathrm{Pr}[\mbox{outcome is different from $v$}] \leq \min_T \left(Pr[B(N, p_v) \leq T] + Pr[\forall i \ne v \quad B(N, p_i) \geq T]\right),$

$B(n, p)$ $T$ $T = N (p_v + \max_{i \ne v} p_v) / 2$ $e^{-\Omega(N)}$

$p_v$ $v$

— ilyaraz
sumber

Terima kasih telah memikirkan masalahnya, tetapi ini bukan yang saya cari. Itu bukan formulir tertutup. Saya perlu menjumlahkan jumlah eksponensial yang tidak terbatas. Saya sudah tahu cara menulis solusi yang tepat dan saya tahu banyak perkiraan untuk istilah individual, tapi bukan itu yang saya inginkan. Saya mencari perkiraan bentuk tertutup untuk solusi, bukan ke istilah individual. Saya juga perlu terikat pada kesalahan.

— Joe Fitzsimons

n

$n$

@ilyaraz Saya mencoba memahami ketidakseimbangan pertama Anda. Bisakah Anda menjelaskan lebih baik mengapa itu berlaku? Saya pikir Anda telah menggunakan ikatan serikat dalam beberapa cara tetapi saya tidak bisa mengerti. Terima kasih :)

— AntonioFa