Contoh mainan untuk hambatan pada

Apakah ada contoh mainan yang memberikan wawasan 'esensial' untuk memahami tiga hambatan yang diketahui untuk masalah - relativization, bukti alami dan algebrization?$P = NP$

Izinkan saya memberikan contoh mainan tentang penghalang relativisasi. Contoh kanonik adalah teorema hierarki waktu yang . Buktinya (dengan diagonalisasi) hanya sedikit lebih terlibat daripada bukti bahwa masalah penghentian tidak dapat diputuskan: kami mendefinisikan algoritma A (x) yang mensimulasikan algoritme x A_x pada input x langsung langkah-demi-langkah untuk t (| x |) langkah, kemudian output nilai yang berlawanan. Kemudian kami berpendapat bahwa A dapat diimplementasikan untuk dijalankan dalam waktu t (| x |) ^ 2 .${\bf TIME}[t(n)] \subsetneq {\bf TIME}[t(n)^2]$$A(x)$$x$$A_x$$x$$t(|x|)$$A$$t(|x|)^2$

Argumen bekerja sama baiknya jika kita melengkapi semua algoritma dengan akses ke set oracle arbitrer $O$ , yang kita asumsikan kita dapat meminta pertanyaan keanggotaan, dalam satu langkah perhitungan. Simulasi langkah demi langkah $A_x^O$ juga dapat dilakukan oleh $A$ , selama $A$ memiliki akses ke oracle $O$ juga. Dalam notasi, kita memiliki ${\bf TIME}^O[t(n)] \subsetneq {\bf TIME}^O[t(n)^2]$ untuk semua nubuat $O$ . Dengan kata lain, hierarki waktu relativizes .

Kita dapat mendefinisikan oracle untuk mesin nondeterministic secara alami, jadi masuk akal untuk mendefinisikan kelas $P^O$ dan $NP^O$ sehubungan dengan oracle. Tetapi ada oracle $O$ dan $O'$ relatif dimana $P^O = NP^O$ dan $P^{O'} \neq NP^{O'}$ , jadi argumen simulasi langsung semacam ini dalam teorema hierarki waktu tidak akan bekerja untuk menyelesaikan $P$ versus $NP$ . Merelatifkan argumen sangat kuat karena dapat diterapkan secara luas dan telah menghasilkan banyak wawasan; tetapi kekuatan yang sama ini membuat mereka "lemah" sehubungan dengan pertanyaan seperti $P$ versus $NP$ .

Tentu saja, di atas adalah contoh mainan - ada banyak contoh lain yang lebih rumit dari argumen dalam kompleksitas yang masih relatif (yaitu, bertahan ketika oracle sewenang-wenang diperkenalkan).