Cara terbaik untuk menentukan dimensi minimum struktur yang diberikan hanya jarak antar titik

Saya menemukan masalah ini di bidang fisika yang cukup jauh dari ilmu komputer, tetapi sepertinya jenis pertanyaan yang telah dipelajari di CS, jadi saya pikir saya akan mencoba peruntungan saya menanyakannya di sini.

Bayangkan Anda diberi satu set titik dan daftar beberapa jarak antara titik d i j . Apa cara paling efisien untuk menentukan dimensi minimum ruang di mana Anda perlu menyematkan titik-titik ini? Dengan kata lain, apa yang terkecil k sehingga terdapat satu set poin dalam R k memuaskan jarak kendala d i j . Saya akan sama-sama senang dengan jawaban untuk C k , tapi ini tampaknya lebih keras.$\{v_i\}_{i=1}^n$$d_{ij}$$k$$\mathbb{R}^k$$d_{ij}$$\mathbb{C}^k$

Saya senang untuk mengatakan bahwa jarak harus mencocokkan hanya dalam waktu beberapa akurasi konstan ε dan memiliki poin dibatasi poin pada beberapa kisi jarak konstan, untuk masalah menghindari komputasi dengan real.$d_{ij}$$\epsilon$

Memang, saya akan sangat senang dengan solusi untuk versi keputusan masalah ini, di mana diberikan dan k Anda ditanya apakah atau tidak seperti satu set simpul { v i } yang ada. Sepele masalah dalam NP, karena diberikan satu set poin dalam R k mudah untuk memeriksa bahwa mereka memenuhi persyaratan jarak, tapi rasanya seperti harus ada waktu algoritma sub-eksponensial untuk masalah khusus ini.$d_{ij}$$k$$\{v_i\}$$\mathbb{R}^k$

Pendekatan yang paling jelas tampaknya adalah mencoba membangun struktur dimensi secara iteratif, dengan menambahkan poin tambahan satu per satu dan menentukan apakah dimensi spasial baru perlu ditambahkan pada setiap iterasi. Masalah dengan ini adalah sepertinya Anda dapat mengalami ambiguitas di mana ada lebih dari satu cara untuk menambahkan titik ke struktur yang ada, dan tidak jelas mana yang akan mengarah ke dimensi yang lebih sedikit saat Anda terus menambahkan lebih banyak poin.$k$

Terakhir, izinkan saya mengatakan bahwa saya tahu bahwa mudah untuk membuat daftar jarak yang tidak dapat dipenuhi di sejumlah dimensi (yaitu yang melanggar ketimpangan segitiga). Namun, untuk contoh yang saya pedulikan akan selalu ada beberapa dimensi terbatas hingga di mana set poin yang memuaskan dapat ditemukan.

Masalah ini kadang-kadang disebut penyelesaian matriks jarak Euclidean dimensi rendah atau penyisipan Euclidean dimensi rendah dari grafik berbobot.

Saxe [Sax79] dan Yemini [Yem79] secara independen ditunjukkan oleh pengurangan sederhana dari masalah Partisi bahwa masalah ini adalah NP-lengkap bahkan dalam kasus satu dimensi; yaitu, masalah berikut ini adalah NP-complete untuk k = 1:

k -dimensi Euclidean penyelesaian matriks jarak / k -dimensi Euclidean embedding dari grafik berbobot.
Instance : Sebuah matriks simetris M yang entri-entrinya adalah bilangan bulat positif dalam biner atau "tidak diketahui."
Pertanyaan : Dapatkah entri yang tidak diketahui dalam M diisi dengan bilangan real sehingga M menjadi matriks jarak titik dalam ruang k- dimensi Euclidean ℝ ^k ?
Dengan kata lain,
Instance : Grafik G di mana setiap sisi memiliki bobot bilangan bulat positif yang ditulis dalam biner.
Pertanyaan : Bisakah simpul G ditempatkan dik -dimensi Euclidean ruang ℝ ^k sehingga untuk setiap tepi G , jarak antara dua titik akhir sama dengan bobot tepi?

Selain itu, Saxe [Sax79] menunjukkan (dengan pengurangan yang lebih terlibat dari 3SAT) bahwa penyelesaian matriks jarak Euclide k- dimensi tetap NP-keras bahkan di bawah pembatasan bahwa semua entri yang diketahui dalam M adalah 1 atau 2, untuk setiap konstanta bilangan bulat positif k . Secara khusus, masalahnya adalah NP-lengkap bahkan ketika entri yang dikenal dalam M diberikan secara unary. [Sax79] juga mengandung beberapa hasil kekerasan tentang perkiraan embedding.

By the way, saya tidak berpikir bahwa itu sepele bahwa masalahnya ada di NP; perhatikan bahwa Anda memerlukan koordinat irasional dalam beberapa kasus ketika k > 1. Saya tidak tahu apakah diketahui menggunakan NP.

Referensi

[Sax79] James B. Saxe. Embeddability dari grafik berbobot dalam k -space adalah NP-hard. Dalam Prosiding Konferensi Allerton ke-17 tentang Komunikasi, Kontrol, dan Komputasi , hal. 480–489, 1979. Juga dalam James B. Saxe: Dua Makalah tentang Masalah Penyematan Grafik , Departemen Ilmu Komputer, Universitas Carnegie-Mellon, 1980.

[Yem79] Yechiam Yemini. Beberapa aspek teoritis masalah posisi-lokasi. Dalam Simposium Tahunan ke-20 tentang Yayasan Ilmu Komputer (FOCS) , hlm. 1–8, Oktober 1979. DOI: 10.1109 / SFCS.1979.39

$d$$n$$d$$n$