Aksioma untuk Jalur Terpendek

Misalkan kita memiliki grafik tertimbang yang tidak diarahkan $G = (V, E, w)$ (dengan bobot non-negatif). Mari kita asumsikan bahwa semua jalur terpendek di $G$ adalah unik. Misalkan kita memiliki jalur (urutan tepi yang tidak berbobot), tetapi tidak tahu itu sendiri. Bisakah kita menghasilkan yang akan memberikan jalur ini sebagai yang terpendek dalam waktu polinomial? Versi yang lebih lemah: dapatkah kita memutuskan dalam waktu polinomial jika seperti itu ada? $\binom{n}{2}$ $G$ $G$ $G$

Kondisi yang diperlukan jelas adalah sebagai berikut: untuk setiap pasangan jalur persimpangan mereka adalah jalan juga. Apakah kondisi ini cukup?

— ilyaraz
sumber

Saya harus bingung tentang input: jika dalam persatuan jalur terpendek Anda memiliki dua simpul pada satu siklus, maka ada dua jalur di antara mereka (yang tentu saja terpendek), dan satu harus lebih pendek dari yang lain oleh Anda kondisi keunikan

u, v

$u,v$

— Suresh Venkat

@ Suresh: Saya tidak tahu apa yang ingin Anda dapatkan. Jika grafik G adalah grafik lengkap, maka jalur terpendek yang unik antara dua simpul adalah satu sisi, dan penyatuan semua jalur terpendek ini adalah grafik lengkap.

— Tsuyoshi Ito

Saya pikir jawabannya adalah 'tidak' untuk merekonstruksi grafik berbobot, karena jika ada sisi yang hilang dari input Anda, itu sebenarnya bisa (a) hilang dalam grafik atau (b) menjadi tepi dengan bobot yang benar-benar sangat tinggi. Saya pikir versi tanpa bobot lebih menarik. Juga, mengapa grafik yang ingin kita temukan berbobot dan jalur yang kita berikan tidak tertimbang?

— Artem Kaznatcheev

biarkan menjadi penyatuan jalan terpendek. adakah alasan mengapa bukan grafik yang akan menghasilkan jalur terpendek yang sama? atau, dengan kata lain, bukankah itu kasus jika jalur terpendek yang diberikan bukan jalur terpendek di , maka tidak ada grafik yang jalurnya terpendek?

H

$H$

H

$H$

H

$H$

— Sasho Nikolov

@SashoNikolov Bobot apa yang harus kita tetapkan ke tepi?

— ilyaraz

Jawaban:

Saya baru saja menemukan pertanyaan lama ini saat melakukan pencarian yang menyala, dan kebetulan saya baru saja mendapat jawaban di makalah ini yang mungkin juga saya bagikan. Saya harap kombinasi necromancy thread dan promosi diri dimaafkan.

Bisakah kita menghasilkan G yang akan memberikan jalur ini sebagai yang terpendek dalam waktu polinomial? Versi yang lebih lemah: dapatkah kita memutuskan dalam waktu polinomial jika G seperti itu ada?

Jawabannya adalah ya untuk keduanya. Algoritma Mohammad pasti bekerja, tetapi ada metode yang lebih cepat dan lebih langsung yang menghindari perlunya menjalankan oracle pemisahan kubik. Misalkan menjadi grafik tertimbang bantu tambahan, di mana berat setiap tepi adalah bilangan bulat yang menunjukkan berapa banyak dari jalur yang diambil pada input berisi sisi itu. Sekarang, pertimbangkan instance aliran multikommoditas berkapasitas tepi lebih dari (menafsirkan bobot tepi sebagai kapasitas) di mana tujuannya adalah untuk secara bersamaan mendorong 1 unit aliran antara setiap pasangan node. Jelas, instance aliran MC ini dapat dipenuhi dengan mendorong aliran dengan cara alami di sepanjang jalur yang diberikan pada input. Ternyata, kita dapat membuktikan bahwa $H = (V, E, w')$ $e \in E$ $n \choose 2$ $H$ $n \choose 2$ jalur adalah jalur terpendek yang unik di beberapa jika dan hanya jika ini adalah cara unik untuk memenuhi instance aliran MC. Kita dapat menguji keunikan dengan menyiapkan LP yang kendalanya adalah yang biasa untuk kelayakan aliran MC ditambah fungsi objektif tertentu yang dipilih dengan cermat, dan bobot tepi memuaskan dapat diekstraksi dari dual LP ini. $G$ $G$

Kondisi yang diperlukan jelas adalah sebagai berikut: untuk setiap pasangan jalur persimpangan mereka adalah jalan juga. Apakah kondisi ini cukup?

Kondisi ini kadang-kadang disebut "konsistensi" (satu set jalan konsisten jika persimpangan dari dua adalah subpath dari masing-masing). Dari penjelasan di atas bahwa konsistensi tidak cukup. Salah satu dari dua counterexamples terikat-untuk-terkecil adalah sistem kode warna empat jalur berikut selama enam node:

Dengan kata lain, tidak ada cara untuk menetapkan bobot ke 8 sisi yang digambarkan di sini sehingga keempat jalur ini secara bersamaan merupakan jalur terpendek unik di antara titik akhir mereka. Namun, setiap pasangan dari mereka berpotongan pada hanya satu simpul, sehingga mereka konsisten (bahkan jika kita mengisinya dengan beberapa jalur tambahan dengan cara yang benar untuk memiliki total). Ada banyak contoh tandingan seperti ini; lihat kertas untuk karakterisasi. $n \choose 2$

Tiga komentar cepat lainnya tentang semua ini:

Pernyataan analog yang mungkin Anda harapkan semuanya berlaku dalam pengaturan grafik yang diarahkan dan bukan diarahkan,
Ada interpretasi topologi yang bagus dari teori ini yang mengarah pada beberapa wawasan dan intuisi tambahan tentang bagaimana jalur terpendek yang unik dapat terstruktur, dan
Untuk beberapa alasan teknis, teori ini menyederhanakan dengan mudah dalam pengaturan DAG daripada grafik yang diarahkan atau tidak berarah (siklik).

— GMB
sumber

Anda dapat menulis masalah sebagai LP, bukan? Untuk setiap dua simpul u, v, dan setiap jalur P dari u ke v, bobot P lebih besar dari atau sama dengan bobot jalur terpendek yang diberikan antara u dan v. Ini semua adalah ketidaksetaraan linear, dan meskipun ada secara eksponensial banyak, masalah pemisahan adalah dalam P (itu hanya masalah jalur terpendek semua-pasangan). Jadi, Anda dapat menggunakan algoritma Ellipsoid untuk menyelesaikannya.

— Mohammad
sumber