Fungsi Mobius didefinisikan sebagai , jika memiliki faktor prima kuadrat, dan jika semua primes berbeda. Apakah mungkin untuk menghitung tanpa menghitung faktorisasi utama ?
Fungsi Mobius didefinisikan sebagai , jika memiliki faktor prima kuadrat, dan jika semua primes berbeda. Apakah mungkin untuk menghitung tanpa menghitung faktorisasi utama ?
Jawaban:
Satu non-jawaban untuk pertanyaan Anda adalah bahwa SQUARE-FREE (adalah angka bebas persegi) itu sendiri tidak diketahui berada di P, dan menghitung fungsi Möbius akan menyelesaikan masalah ini (karena angka bebas persegi memiliki ).
Untuk jawaban lain, Anda mungkin tertarik pada dugaan Sarnak (lihat misalnya http://gilkalai.wordpress.com/2011/02/21/the-ac0-prime-number-conjecture/ , http: //rjlipton.wordpress .com / 2011/02/23 / the-depth-of-the-mobius-function / , /mathpro/57543/walsh-fourier-transform-of-the-mobius-function ), yang pada dasarnya menyatakan bahwa fungsi Möbius tidak berkorelasi dengan fungsi Boolean "sederhana". Bukan tidak masuk akal untuk mengharapkannya berlaku ketika "sederhana" ditafsirkan sebagai waktu polinomial. Apa yang kita tahu sejauh ini adalah bahwa dugaan tersebut berlaku untuk -functions (dibuktikan dengan Ben Hijau ), dan semua fungsi monoton (dibuktikan dengan Jean Bourgain ).
Salah satu rumus rekursif berkaitan nilai-nilai fungsi mobious adalah
Biarkan , di mana p j adalah bilangan prima yang berbeda. Kemudian μ ( n ) = μ ( p 1 ... p k ) = μ ( p 1 ) ... μ ( p k ) . Kemudian untuk menghitung μ ( n ) , perlu untuk menghitung μ ( p j ) untuk setiap p j
Berikut ini analogi: Untuk mengetahui apakah ada jumlah jeli kacang ganjil atau genap dalam satu toples, orang harus menghitung jelly bean. Inilah sebabnya mengapa Anda harus menghitung faktorisasi bilangan utama untuk menghitung fungsi Mobius-nya, ketika itu tidak dapat dibagi oleh kuadrat. Tetapi untuk mengetahui bahwa ada lebih dari satu biji jeli dalam satu toples, kita tidak perlu memeriksa salah satu dari biji jelly di dalam toples. Orang hanya bisa mengocok guci dan mendengar bahwa ada lebih dari satu jelly bean. Inilah sebabnya mengapa Anda tidak perlu memperhitungkan suatu angka untuk mengetahui bahwa itu adalah komposit. Algoritma seperti Teorema Kecil Fermat memungkinkan seseorang untuk "mengguncang angka" untuk mengetahui bahwa itu adalah gabungan.