Apa perbedaan antara proposisi dan penilaian?


27

Saya menjadi bingung oleh perbedaan halus antara proposisi dan penilaian ketika terkena teori tipe intuitionistic. Bisakah seseorang menjelaskan kepada saya apa gunanya membedakan mereka dan apa yang membedakan mereka? Terutama mengingat Curry-Howard Isomorphsim.


Anda mungkin tertarik untuk membaca en.wikipedia.org/wiki/…
Anthony

Jawaban:


17

Pertama, Anda harus tahu bahwa, secara umum, tidak ada konsensus tentang istilah-istilah ini dan definisi mereka tergantung pada sistem di mana seseorang bekerja. Karena Anda bertanya tentang teori tipe intuitionist, saya akan mengutip Pfenning:

Suatu penilaian adalah sesuatu yang mungkin kita ketahui, yaitu objek pengetahuan. Suatu penilaian terbukti jika kita benar-benar mengetahuinya.

Proposisi di sisi lain, menurut Martin-Löf adalah set bukti. Dalam interpretasi ini, jika set bukti untuk proposisi kosong maka itu salah dan sebaliknya benar.

Proposisi diartikan sebagai himpunan yang unsur-unsurnya mewakili bukti proposisi

kata Nordström et al. Di sisi lain, dalam logika klasik dan secara umum, proposisi adalah objek yang diekspresikan dalam bahasa yang dapat berupa "benar" atau "salah".

Untuk memberi Anda beberapa intuisi ekstra; dari sudut pandang saya, penilaian bersifat metalogis dan proposisi logis.

Saya menyarankan "Logika Konstruktif" oleh Frank Pfenning , "Bukti dan Jenis" oleh Jean-Yves Girard dan "Pemrograman dalam Teori Tipe Martin-Löf" oleh Bengt Nordström et al. Ketiganya tersedia secara bebas di Internet. Yang terakhir mungkin yang paling dekat dengan apa yang Anda inginkan karena berorientasi pada pemrograman dan panjang lebar, tentang arti dari istilah-istilah ini dan banyak lagi.


2
Kutipan pertama adalah Frank Pfenning, bukan Girard.
Noam Zeilberger

Satu pertanyaan: apakah benar menyatakan bahwa (di bawah proposisi sebagai tipe paradigma) proposisi adalah tipe sedangkan penilaiannya adalah sekuens / ekspresi dari teori tipe (kerangka logis)?
Giorgio Mossa

1
Bagaimana kita tahu bahwa kita tahu sesuatu? (Sehubungan dengan "Penghakiman terbukti jika kita sebenarnya mengetahuinya"?)
CMCDragonkai

16

Mungkin saya bisa mencoba memberikan jawaban yang kurang metafisik.

Ada bahasa, bahasa logis, yang sedang kita pelajari. Dalam bahasa ini, ada hal-hal yang disebut "proposisi" yang seharusnya menjadi hal-hal yang benar atau salah.

Ada bahasa meta, yang juga merupakan bahasa logis, di mana kami mencoba menjelaskan hal-hal mana dalam bahasa dasar yang benar atau salah. Pernyataan yang kami buat dalam bahasa meta ini disebut "penilaian".

Perhatikan bahwa semua proposisi bahasa dasar memiliki status data dalam meta-bahasa. Mereka sebagus string. Anda tidak dapat menanyakan string apakah itu benar atau salah. Judgement adalah interpreter yang mengartikan string sebagai proposisi dan memutuskan apakah itu benar atau salah.


14

Saya akan mencoba menjadi singkat di mana jawaban lain lebih lengkap. Ada perbedaan antara selembar teks yang mengatakan "Kepala pelayan melakukannya." , dan Nyonya Marple menyatakan, "Kepala pelayan melakukannya." Dalam kasus kedua, kepala pelayan mungkin kehilangan kebebasannya.


1
Saya biasanya suka jawaban Anda Andrej, tetapi dalam hal ini saya tidak mengikuti. Mengapa medium pernyataan itu penting? Atau apakah perbedaan dalam kata kerja "mengatakan" dan "menyatakan." Dalam hal itu, bagaimana kita tahu teks itu tidak menyatakan dan Nyonya Marple tidak mengatakannya? Satu-satunya perbedaan lain yang saya lihat adalah teksnya pasif, sementara Mrs. Marple aktif; tetapi, seseorang menulis teksnya, bukan?
Anthony

6
Fakta bahwa kita dapat merumuskan kalimat "Kepala pelayan melakukannya" tidak berarti apa-apa. Fakta bahwa itu ada di selembar kertas tidak ada artinya. Tetapi ketika Nyonya Marple membuat keputusan "Kepala pelayan melakukannya" di depan semua orang yang berkumpul di ruang baca Victoria yang bagus, itu hal yang sama sekali berbeda. Mungkin aku terlalu samar.
Andrej Bauer

@Andrej Bauer: Saya harus minta maaf karena tidak memilih Anda sebelumnya, sekarang saya mengerti intinya. Terima kasih banyak.
hari

12

Dalam teori tipe Martin-Löf , penilaian adalah bagian dari tindak tutur . Ada empat (atau lima menurut Wikipedia) penilaian:

  • AA Type ( adalah tipe / set / proposisi),A
  • s As:A ( adalah anggota / bukti ),sA
  • s t As=t:A ( dan adalah anggota / bukti yang sama dari ),stA
  • A BA=B ( dan adalah jenis / set / proposisi yang sama),AB
  • ΓΓ Context ( adalah konteks yang terbentuk dengan baik).Γ

Untuk memahami apa artinya ini, kita harus kembali ke Frege. Simbol pintu putar Frege adalah tindakan ucapan. Ini menegaskan para konten (yang mengikutinya dan penghakiman). Dalam teori tipe Martin-Löf kita memiliki empat (lima?) Penilaian yang tercantum di atas. Dalam teori-teori ini, proposisi hanyalah tipe.

Mari kita asumsikan bahwa adalah proposisi. Maka adalah tipe. Mari kita berasumsi bahwa adalah istilah tipe . Lalu adalah penilaian (Anda dapat menganggapnya sebagai adalah bukti dari ). Sekarang kita dapat menyatakan bahwa adalah kasus, dalam hal ini kita menggunakan .A t A t : A t A t : AAAtAt:AtAt:A

Saya akan menambahkan "Yayasan Matematika Konstruktif" Michael Beeson ke saran dalam jawaban Anthony. Martin-Lof telah memberikan beberapa ceramah yang menjelaskan teorinya dengan sangat baik tetapi sayangnya kebanyakan dari mereka belum berubah menjadi bentuk yang diterbitkan olehnya (tetapi periksa situs web ini ).


Terima kasih atas enumerasinya. Tapi pertanyaan saya sekarang adalah bukankah penilaian ini sepele diubah menjadi proposisi? misalnya, "A is a type" adalah predikat yang adil, ketika A dipakai oleh, katakan Nat, itu menjadi proposisi, bukan?
hari

Saya akan mengatakan bahwa adalah penghakiman. Γt:A
Dave Clarke

1
@Dave, saya mengikuti akun Beeson dari 1980 di sini tetapi Anda sampai batas tertentu (walaupun Per tampaknya lebih suka untuk penilaian bersyarat, secara historis notasi yang Anda tulis adalah penyalahgunaan yang umum, tidak boleh ada apapun di sebelah kiri pintu putar). t:A(Γ)
Kaveh

2
@plmday, yang berikut mungkin membantu tentang mengapa hal itu tidak dapat terjadi dari sudut pandang matematika: "Anda tidak dapat memiliki alam semesta, perlakukan" p membuktikan A "sebagai proposisi, dan memiliki predikat bukti yang dapat dipercaya." [Beeson 1980, hlm. 409]. (Tetapi bagi Martin-Löf, masalah utama adalah bahwa ini secara konsep berbeda dan membingungkan mereka akan mengarah pada fondasi yang tidak dapat dibenarkan yang mungkin mengarah pada hasil paradoks.)
Kaveh

2
Saya ingin menambahkan bahwa ini sepertinya terlalu spesifik bagi saya karena ada banyak versi ITT lain dengan penilaian lain (mis. Prop CoC). Saya pikir konsep yang lebih penting di sini adalah dalam komentar kedua Kaveh: mencoba mengubah beberapa penilaian menjadi proposisi dapat memperkenalkan masalah-masalah halus dan berbahaya ke dalam teori. Itu bukan untuk mengatakan bahwa teori tipe tidak dapat dijelaskan dalam teori tipe tetapi hanya bahwa ada garis-garis yang jelas yang ditarik antara metatori, teori dan ekspresi dalam teori itu.
Anthony

4

Penghakiman adalah komposisi dari dua hal:

  1. P
  2. A

A[P]

[P][P][T]H1,,HnA1,,An, di mana beberapa logika memiliki penilaian seperti itu yang tidak sepadan dengan proposisi bahasa logika. Jadi berbagai jenis proposisional terlihat dalam logika klasik yang cukup elementer.

Teori tipe Martin-Lof menggunakan resor penilaian yang lebih kompleks karena tiga alasan: Pertama, ia diketik secara dependen, yang berarti bahwa proposisi muncul sebagai entitas sintaksis dalam istilah. Kedua, ia mengeluarkan menggunakan tata bahasa untuk menentukan string simbol mana yang merupakan syarat dan proposisi yang valid, tetapi menggunakan sistem inferensial untuk melakukannya - hal yang masuk akal untuk dilakukan karena proposisi dalam teori yang diketik seperti itu umumnya tidak bebas konteks. Ketiga, ia menyusun teori baru tentang kesetaraan, sering disebut kesetaraan proposisional, yang memanfaatkan teori beta-eta (atau dalam beberapa varian, hanya teori beta), dan penilaian bahwa dua istilah berbagi bentuk normal yang sama diungkapkan dengan menggunakan penilaian yang mengekspresikan kesetaraan beta / eta dari dua istilah - sekali lagi masuk akal,

Putusan yang menyatakan kesetaraan beta / eta dapat dihilangkan dengan tidak terlalu banyak kesulitan - miliki sebagai dasar untuk aturan pengantar kesetaraan proposisional adalah bahwa kedua istilah tersebut setara dengan beta (kesetaraan beta-eta sedikit lebih bermasalah) - tetapi menghilangkan penilaian bahwa istilah menghuni tipe jauh lebih sulit; cara paling buruk yang dapat saya pikirkan untuk melakukan ini adalah merekonstruksi inferensi tipe dalam tata bahasa, yang mengarah pada teori yang lebih kompleks dan kurang intuitif secara keseluruhan.


-3

Klaim, proposisi, dan pernyataan semuanya sama; tetapi kendi adalah proposisi yang telah diverifikasi (apakah benar atau salah), disahkan, atau digunakan sebagai kesimpulan. Tidak perlu untuk formula mewah seperti jawaban di atas tampaknya menyalahgunakan ...


1
Anda salah mengatakan bahwa putusan telah diverifikasi. Putusan yang diverifikasi (terbukti) disebut teorema.
Andrej Bauer
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.