Apa perbedaan antara proposisi dan penilaian?

Saya menjadi bingung oleh perbedaan halus antara proposisi dan penilaian ketika terkena teori tipe intuitionistic. Bisakah seseorang menjelaskan kepada saya apa gunanya membedakan mereka dan apa yang membedakan mereka? Terutama mengingat Curry-Howard Isomorphsim.

Pertama, Anda harus tahu bahwa, secara umum, tidak ada konsensus tentang istilah-istilah ini dan definisi mereka tergantung pada sistem di mana seseorang bekerja. Karena Anda bertanya tentang teori tipe intuitionist, saya akan mengutip Pfenning:

Suatu penilaian adalah sesuatu yang mungkin kita ketahui, yaitu objek pengetahuan. Suatu penilaian terbukti jika kita benar-benar mengetahuinya.

Proposisi di sisi lain, menurut Martin-Löf adalah set bukti. Dalam interpretasi ini, jika set bukti untuk proposisi kosong maka itu salah dan sebaliknya benar.

Proposisi diartikan sebagai himpunan yang unsur-unsurnya mewakili bukti proposisi

kata Nordström et al. Di sisi lain, dalam logika klasik dan secara umum, proposisi adalah objek yang diekspresikan dalam bahasa yang dapat berupa "benar" atau "salah".

Untuk memberi Anda beberapa intuisi ekstra; dari sudut pandang saya, penilaian bersifat metalogis dan proposisi logis.

Saya menyarankan "Logika Konstruktif" oleh Frank Pfenning , "Bukti dan Jenis" oleh Jean-Yves Girard dan "Pemrograman dalam Teori Tipe Martin-Löf" oleh Bengt Nordström et al. Ketiganya tersedia secara bebas di Internet. Yang terakhir mungkin yang paling dekat dengan apa yang Anda inginkan karena berorientasi pada pemrograman dan panjang lebar, tentang arti dari istilah-istilah ini dan banyak lagi.

Mungkin saya bisa mencoba memberikan jawaban yang kurang metafisik.

Ada bahasa, bahasa logis, yang sedang kita pelajari. Dalam bahasa ini, ada hal-hal yang disebut "proposisi" yang seharusnya menjadi hal-hal yang benar atau salah.

Ada bahasa meta, yang juga merupakan bahasa logis, di mana kami mencoba menjelaskan hal-hal mana dalam bahasa dasar yang benar atau salah. Pernyataan yang kami buat dalam bahasa meta ini disebut "penilaian".

Perhatikan bahwa semua proposisi bahasa dasar memiliki status data dalam meta-bahasa. Mereka sebagus string. Anda tidak dapat menanyakan string apakah itu benar atau salah. Judgement adalah interpreter yang mengartikan string sebagai proposisi dan memutuskan apakah itu benar atau salah.

Saya akan mencoba menjadi singkat di mana jawaban lain lebih lengkap. Ada perbedaan antara selembar teks yang mengatakan "Kepala pelayan melakukannya." , dan Nyonya Marple menyatakan, "Kepala pelayan melakukannya." Dalam kasus kedua, kepala pelayan mungkin kehilangan kebebasannya.

Dalam teori tipe Martin-Löf , penilaian adalah bagian dari tindak tutur . Ada empat (atau lima menurut Wikipedia) penilaian:

• $A \ \mathsf{Type}$ ( adalah tipe / set / proposisi),$A$
• s $s : A$ ( adalah anggota / bukti ),$s$$A$
• s t $s=t : A$ ( dan adalah anggota / bukti yang sama dari ),$s$$t$$A$
• A $A=B$ ( dan adalah jenis / set / proposisi yang sama),$A$$B$
• $\Gamma \ \mathsf{Context}$ ( adalah konteks yang terbentuk dengan baik).$\Gamma$

Untuk memahami apa artinya ini, kita harus kembali ke Frege. Simbol pintu putar Frege adalah tindakan ucapan. Ini menegaskan para konten (yang mengikutinya dan penghakiman). Dalam teori tipe Martin-Löf kita memiliki empat (lima?) Penilaian yang tercantum di atas. Dalam teori-teori ini, proposisi hanyalah tipe.$\vdash$

Mari kita asumsikan bahwa adalah proposisi. Maka adalah tipe. Mari kita berasumsi bahwa adalah istilah tipe . Lalu adalah penilaian (Anda dapat menganggapnya sebagai adalah bukti dari ). Sekarang kita dapat menyatakan bahwa adalah kasus, dalam hal ini kita menggunakan .A t A t : A t A ⊢ t : $A$$A$$t$$A$$t : A$$t$$A$$\vdash t:A$

Saya akan menambahkan "Yayasan Matematika Konstruktif" Michael Beeson ke saran dalam jawaban Anthony. Martin-Lof telah memberikan beberapa ceramah yang menjelaskan teorinya dengan sangat baik tetapi sayangnya kebanyakan dari mereka belum berubah menjadi bentuk yang diterbitkan olehnya (tetapi periksa situs web ini ).

Penghakiman adalah komposisi dari dua hal:

1. $P$
2. $\cal A$

${\cal A} [P]$

$[P]$$[P]$$[T]$$H_1, \dots, H_n \vdash A_1, \dots, A_n$, di mana beberapa logika memiliki penilaian seperti itu yang tidak sepadan dengan proposisi bahasa logika. Jadi berbagai jenis proposisional terlihat dalam logika klasik yang cukup elementer.

Teori tipe Martin-Lof menggunakan resor penilaian yang lebih kompleks karena tiga alasan: Pertama, ia diketik secara dependen, yang berarti bahwa proposisi muncul sebagai entitas sintaksis dalam istilah. Kedua, ia mengeluarkan menggunakan tata bahasa untuk menentukan string simbol mana yang merupakan syarat dan proposisi yang valid, tetapi menggunakan sistem inferensial untuk melakukannya - hal yang masuk akal untuk dilakukan karena proposisi dalam teori yang diketik seperti itu umumnya tidak bebas konteks. Ketiga, ia menyusun teori baru tentang kesetaraan, sering disebut kesetaraan proposisional, yang memanfaatkan teori beta-eta (atau dalam beberapa varian, hanya teori beta), dan penilaian bahwa dua istilah berbagi bentuk normal yang sama diungkapkan dengan menggunakan penilaian yang mengekspresikan kesetaraan beta / eta dari dua istilah - sekali lagi masuk akal,

Putusan yang menyatakan kesetaraan beta / eta dapat dihilangkan dengan tidak terlalu banyak kesulitan - miliki sebagai dasar untuk aturan pengantar kesetaraan proposisional adalah bahwa kedua istilah tersebut setara dengan beta (kesetaraan beta-eta sedikit lebih bermasalah) - tetapi menghilangkan penilaian bahwa istilah menghuni tipe jauh lebih sulit; cara paling buruk yang dapat saya pikirkan untuk melakukan ini adalah merekonstruksi inferensi tipe dalam tata bahasa, yang mengarah pada teori yang lebih kompleks dan kurang intuitif secara keseluruhan.

Klaim, proposisi, dan pernyataan semuanya sama; tetapi kendi adalah proposisi yang telah diverifikasi (apakah benar atau salah), disahkan, atau digunakan sebagai kesimpulan. Tidak perlu untuk formula mewah seperti jawaban di atas tampaknya menyalahgunakan ...